Giải thích các bước giải:

 Câu rút gọn M

ĐKXĐ: $x> 0; x\ne 9$

Ta có:

$\begin{array}{l}
M = \left( {\dfrac{{x + 6\sqrt x  + 9}}{{x - 9}} - \dfrac{3}{{\sqrt x }}} \right)\left( {1 - \dfrac{9}{{x + 9}}} \right)\\
 = \left( {\dfrac{{{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} - \dfrac{3}{{\sqrt x }}} \right)\left( {\dfrac{{x + 9 - 9}}{{x + 9}}} \right)\\
 = \left( {\dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}} - \dfrac{3}{{\sqrt x }}} \right).\dfrac{x}{{x + 9}}\\
 = \left( {\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right) - 3\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\sqrt x .\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}} \right).\dfrac{x}{{x + 9}}\\
 = \dfrac{{x + 9}}{{\sqrt x .\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}.\dfrac{x}{{x + 9}}\\
 = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}
\end{array}$

Vậy $M = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}$ với $x> 0; x\ne 9$

Câu 2:

1) Phương trình đường thẳng (d) đi qua $A(-3;2)$ và $B(-2;3)$ là:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{x - {x_A}}}{{{x_B} - {x_A}}} = \dfrac{{y - {y_A}}}{{{y_B} - {y_A}}}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{x - \left( { - 3} \right)}}{{\left( { - 2} \right) - \left( { - 3} \right)}} = \dfrac{{y - 2}}{{3 - 2}}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{x + 3}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{1}\\
 \Leftrightarrow y = x + 5
\end{array}$

Vậy $\left( d \right):y = x + 5$

2) Ta có:

$\begin{array}{l}
a){x^2} - 2\sqrt 3 x - 1 = 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2x.\sqrt 3  + 3 - 4 = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {x - \sqrt 3 } \right)^2} = 4\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - \sqrt 3  = 2\\
x - \sqrt 3  =  - 2
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2 + \sqrt 3 \\
x =  - 2 + \sqrt 3 
\end{array} \right.
\end{array}$

Tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {2 + \sqrt 3 ; - 2 + \sqrt 3 } \right\}$

$\begin{array}{l}
b)\sqrt 2 {x^2} - 2x = 0\\
 \Leftrightarrow \sqrt 2 x\left( {x - \sqrt 2 } \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x - \sqrt 2  = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \sqrt 2 
\end{array} \right.
\end{array}$

Tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {0;\sqrt 2 } \right\}$

$\begin{array}{l}
c)4{x^2} - 5 = 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{5}{4}\\
 \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}
\end{array}$

Tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { \pm \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}} \right\}$

3) Ta có:

$\begin{array}{l}
a)\left\{ \begin{array}{l}
3x - 2y = 1\\
2x - y - 1 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x - 2y = 1\\
y = 2x - 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x - 2\left( {2x - 1} \right) = 1\\
y = 2x - 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 2x - 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 1
\end{array} \right.
\end{array}$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)$

$\begin{array}{l}
b)\left\{ \begin{array}{l}
3x - \dfrac{1}{3}y = 8\\
2x - y = 3
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x - \dfrac{1}{3}y = 8\\
y = 2x - 3
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x - \dfrac{1}{3}\left( {2x - 3} \right) = 8\\
y = 2x - 3
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{7}{3}x = 7\\
y = 2x - 3
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y = 2x - 3
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y = 3
\end{array} \right.
\end{array}$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left( {x;y} \right) = \left( {3;3} \right)$

4) Ta có:

Hai đồ thị hàm số $y = \left( {{a^2} + 5a + 1} \right)x + 2a - 1;y = 7x + 1$

Để đồ thị hàm số $y = \left( {{a^2} + 5a + 1} \right)x + 2a - 1$ song song với đồ thị hàm số $y = 7x + 1$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + 5a + 1 = 7\\
2a - 1 \ne 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + 5a - 2 = 0\\
a \ne 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {a + \dfrac{5}{2}} \right)^2} - \dfrac{{33}}{2} = 0\\
a \ne 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{{ - 5 \pm \sqrt {33} }}{2}\\
a \ne 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow a = \dfrac{{ - 5 \pm \sqrt {33} }}{2}
\end{array}$

Vậy $a = \dfrac{{ - 5 \pm \sqrt {33} }}{2}$