Đáp án:
$\\$
`a,`
Có : `BM` là đường trung tuyến (gt)
`-> M` là trung điểm của `AC`
Xét `ΔABC` vuông tại `A` có :
`AB^2+ AC^2 = BC^2` (Pitago)
`-> AC^2 = BC^2 - AB^2`
`-> AC^2 = 5^2 -3^2`
`-> AC^2=4^2`
`->AC=4cm`
Do `M` là trung điểm của `AC` (cmt)
`-> CM = 1/2 AC`
`->CM = 1/2 .4`
`-> CM =2cm`
$\\$
`b,`
Xét `ΔMAB` và `ΔMCD` có :
`MB=MD` (gt)
`AM=CM` (Do `M` là trung điểm của `AC`)
`hat{AMB}=hat{CMD}` (2 góc đối đỉnh)
`-> ΔMAB = ΔMCD` (cạnh - góc -cạnh)
`-> AB = CD` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
`c,`
Có : `MB=MD` (gt)
`-> M` là trung điểm của `BD`
`-> MD = 1/2 BD`
`-> BD = 2MD`
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔBCD` có :
`BC + CD > BD`
mà `CD=AB` (cmt) và `BD =2MD` (cmt)
`-> AB+BC > 2MD`
$\\$
`d,`
Có : `M` là trung điểm của `BD` (cmt)
`-> AM` là đường trung tuyến của `ΔABD`
Xét `ΔABD` có :
`AM` là đường trung tuyến (cmt)
`AK = 2MK` (gt)
`-> K` là trọng tâm của `ΔABD`
mà `BK` cắt `AD` tại `N`
`-> BN` là đường trung tuyến của `ΔABD`
`-> N` là trung điểm của `AD`
`-> CN` là đường trung tuyến của `ΔACD`
Có : `M` là trung điểm của `AC` (cmt)
`-> DM` là đường trung tuyến của `ΔACD`
Xét `ΔACD` có :
`CN` là đường trung tuyến (cmt)
`DM` là đường trung tuyến (cmt)
`CN` cắt `DM` tại `I`
`-> I` là trọng tâm của `ΔACD`
`-> MI = 1/3 MD`
mà `MD = 1/2 BD` (cmt)
`-> MI = 1/3 . 1/2 BD`
`->MI = 1/6 BD`
`-> BD = 6MI`
