Đáp án: `x=-\frac{5±4\sqrt{3}}{4}`
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ: `-3≤x≤1/2`
Đặt $\sqrt{2-4x}=a;\sqrt{3+x}=b(a;b≥0)$
Ta có: $14=2-4x+12+4x=a^2+4b^2$
Nhân 2 vế với 2. Lúc ấy, phương trình đã cho trở thành:
$a^2+4b^2+4ab=4a+8b$
$⇔a^2+4ab+4b^2-4a-8b=0$
$⇔(a^2+4ab+4b^2)-(4a+8b)=0$
$⇔(a+2b)^2-2.(a+2b).2+4-4=0$
$⇔(a+2b-2)^2=4$
$⇔\left[ \begin{array}{l}a+2b-2=2\\a+2b-2=-2\end{array} \right.$
$⇔\left[ \begin{array}{l}a+2b=4\\a+2b=0\end{array} \right.$
-Trường hợp 1: $a+2b=0$
Do $a;b≥0⇒VT≥0$
Dấu bằng xảy ra
$⇔a=b=0$
Từ $a=0⇔\sqrt{2-4x}=0⇔2-4x=0⇔x=0,5$
$b=0⇔\sqrt{3+x}=0⇔3+x=0⇔x=-3$
Ta thấy 2 giá trị ở trên không giống nhau nên trường hợp này không thể xảy ra
-Trường hợp 2: $a+2b=4$
$⇔\sqrt{2-4x}+2\sqrt{3+x}=4$
$⇔(2-4x)+4(3+x)+4\sqrt{(2-4x)(3+x)}=16$
$⇔14+4\sqrt{(2-4x)(3+x)}=16$
$⇔4\sqrt{(2-4x)(3+x)}=2$
$⇔2\sqrt{(2-4x)(3+x)}=1$
$⇔4(2-4x)(3+x)=1$
$⇔-16x^2-40x+24=1$
$⇔-16x^2-40x+23=0$
$⇔16x^2+40x-23=0$
$⇔(4x)^2+2.4.5+25-48=0$
$⇔(4x+5)^2=48$
$⇔4x+5=±4\sqrt{3}$
$⇔4x=-5±4\sqrt{3}$
`⇔x=\frac{-5±4\sqrt{3}}{4}=-\frac{5±4\sqrt{3}}{4}`
