`c)` Ta có:
$H; K$ đối xứng qua $N$
`=>N` là trung điểm $HK$
Mà $BC\perp HK$ tại $N$
`=>CN` là đường trung trực của $HK$
`=>CH=CK`
`=>∆CHK` cân tại $C$
`=>CN` là phân giác của `\hat{HCK}`
`=>\hat{BCK}=\hat{BCH}`
Mà `\hat{BCH}=\hat{BAK}` (cùng phụ `\hat{FBC}`)
`=>\hat{BCK}=\hat{BAK}`
Tứ giác $BACK$ có hai đỉnh $C;A$ cùng nhìn cạnh $BK$ dưới hai góc bằng nhau
`=>BACK` nội tiếp
`=>B,A,C,K` cùng thuộc một đường tròn.
Mà $∆ABC$ nội tiếp $(O)$
`=>K` thuộc đường tròn $(O)$ $(đpcm)$
$\\$
`d)` $BCEF$ nội tiếp $(I)$ đường kính $BC$ (câu a)
`=>IE=IC=1/ 2 BC`
`=>∆IEC` cân tại $I$
`=>\hat{ICE}=\hat{IEC}`
`=>\hat{EIC}=180°-2\hat{ECI}` $(1)$
$BCEF$ nội tiếp
`=>\hat{AFE}=\hat{ACB}`
(góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó)
Ta có: `\hat{ANC}=\hat{AFC}=90°`
`=>` Tứ giác $ACNF$ có hai đỉnh $N;F$ cùng nhìn cạnh $AC$ dưới góc vuông
`=>ACNF` nội tiếp
`=>\hat{BFN}=\hat{ACB}`
`\hat{EFN}=180°-(\hat{AFE}+\hat{BFN})`
`=180°-2\hat{ACB}=180°-2\hat{ECI}` $(2)$
Từ `(1);(2)=>\hat{EIC}=\hat{EFN}`
`=>` Tứ giác $EFNI$ nội tiếp (đpcm)
(góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó)
