a) Ta có
$A = 1 + \left( \dfrac{2a + \sqrt{a} - 1}{(1-\sqrt{a})(1 + \sqrt{a})} - \dfrac{2a \sqrt{a} - \sqrt{a} + a}{(1-\sqrt{a})(a + \sqrt{a} + 1)} \right) . \dfrac{a- \sqrt{a}}{2\sqrt{a} - 1}$
$= 1 + \left( \dfrac{ (2a + \sqrt{a} - 1)(a + \sqrt{a} + 1) - (2a \sqrt{a} - \sqrt{a} + a)((1 + \sqrt{a})}{(1 - \sqrt{a})(a + \sqrt{a} + 1)(1 + \sqrt{a})} \right . \dfrac{a- \sqrt{a}}{2\sqrt{a} - 1}$
$= 1 + \dfrac{2a + \sqrt{a} + 1}{(1 - \sqrt{a})(a + \sqrt{a} + 1)(1 + \sqrt{a})} . \dfrac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)}{2\sqrt{a} - 1}$
$= 1 + \dfrac{(2\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)}{(1 - \sqrt{a})(a + \sqrt{a} + 1)(1 + \sqrt{a})} . \dfrac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)}{2\sqrt{a} - 1}$
$= 1 - \dfrac{\sqrt{a}}{a + \sqrt{a} + 1}$
$= \dfrac{a + 1}{a + \sqrt{a} + 1}$
Ta có
$\dfrac{\sqrt{6}}{1 + \sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}(1 - \sqrt{6}}{1-6} = \dfrac{6-\sqrt{6}}{5}$.
Để $A = \dfrac{6-\sqrt{6}}{5}$ thì
$\dfrac{a + 1}{a + \sqrt{a} + 1} = \dfrac{6-\sqrt{6}}{5}$
$<-> 5a + 5 = (6 - \sqrt{6}) (a + \sqrt{a} + 1)$
$<-> a(1 - \sqrt{6}) + \sqrt{a} (6 - \sqrt{6}) + 1 - \sqrt{6} = 0$
Đặt $t = \sqrt{a}$, $t \geq 0$, $t \neq \dfrac{1}{4}$. KHi đó
$t^2 (1 - \sqrt{6}) + t(6 - \sqrt{6}) + 1 - \sqrt{6} = 0$
Giải ra ta có
$t = \dfrac{\sqrt{6} \pm \sqrt{2}}{2}$.
Cả 2 nghiệm đều lớn hơn 0. DO đó
$a = \sqrt{\dfrac{\sqrt{6} \pm \sqrt{2}}{2}}$.
b) Ta xét
$A - \dfrac{2}{3} = \dfrac{a + 1}{a + \sqrt{a} + 1} - \dfrac{2}{3}$
$= \dfrac{a - 2\sqrt{a} + 1}{3(a + \sqrt{a} + 1)}$
$= \dfrac{(\sqrt{a} - 1)^2}{3(a + \sqrt{a} + 1)}$
Ta có $(\sqrt{a} - 1)^2 > 0$ với mọi $a \neq 1$ và $a + \sqrt{a} + 1 > 0$ với mọi $a \geq 0$.
Vậy $\dfrac{(\sqrt{a} - 1)^2}{3(a + \sqrt{a} + 1)}$ > 0 với mọi a hay
$A - \dfrac{2}{3} > 0$ với mọi $a$.
$<-> A > \dfrac{2}{3}$ với mọi a.
