Giải thích các bước giải:

 2)

 a) x²-2(m-1)x+4m-7=0 có 2 nghiệm dương phân biệt

<=> $\left \{ {{Δ'>0} \atop {S>0} và P>0} \right.$ 

Xét Δ'>0 <=> (m-1)²-4m+7>0 <=> m²-2m+1-4m+7>0

                                                  <=> m²-6m+8>0

                                    <=> \(\left[ \begin{array}{l}m<2\\m>4\end{array} \right.\) (1)

Xét S>0 <=> 2(m-1) >0 <=> 2m-2>=<=> m>1 (2)

Xét P>0 <=> 4m-7>0 <=> m>$\frac{7}{4}$  (3)

Từ (1) (2) và (3) => m∈ ($\frac{7}{4}$ ;2) ∪ (4; +∞)

b)

 Để f(x) >0 ∀x∈R thì $\left \{ {{Δ'<0} \atop {a>0}} \right.$ 

 Xét Δ'<0 <=>m²-6m+8<0 <=> 2<m<4

 Ta thấy a=1>0 (luôn đúng )

=> để f(x)>0 ∀x∈R <=> 2<m<4

( chúc bạn học tốt ! nếu được vote cho mình câu tlhn nhé , thanks!)

Giải thích các bước giải:

a,

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}
\Delta ' > 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - 1.\left( {4m - 7} \right) > 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 - 4m + 7 > 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 8 > 0\\
 \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m - 4} \right) > 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 4\\
m < 2
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)
\end{array}\)

Với điều kiện (*), phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\
{x_1}.{x_2} = 4m - 7
\end{array} \right.\)

Hai nghiệm trên là hai nghiệm dương khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} > 0\\
{x_1}.{x_2} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2\left( {m - 1} \right) > 0\\
4m - 7 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 1\\
m > \frac{7}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{7}{4}\)

Kết hợp điều kiện (*) ta được \(m \in \left( {\frac{7}{4};2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\) là thỏa mãn.

Vậy \(m \in \left( {\frac{7}{4};2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\)

b,

Ta có:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) > 0,\,\,\,\forall x \in R\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 4m - 7 > 0,\,\,\,\forall x \in R\\
 \Leftrightarrow \Delta ' < 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {4m - 7} \right) < 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 8 < 0\\
 \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m - 4} \right) < 0\\
 \Leftrightarrow 2 < m < 4
\end{array}\)