Đáp án:
Câu 4: $B. \, 2$
Câu 5: $B.\, m = -10$
Giải thích các bước giải:
Câu 4:
$y = - \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{1}{2}(m-2)x^2 + (m-2)x+ 3$
$TXĐ: D = \Bbb R$
$y' = -x^2 + (m-2)x + m- 2$
Hàm số nghịch biến trên $\left(-\dfrac{1}{2};+\infty\right)$
$\Leftrightarrow y' \leq 0, \, \forall x \in \left(-\dfrac{1}{2};+\infty\right)$
$\Leftrightarrow -x^2 + (m-2)x + (m-2) \leq 0, \forall x \in \left(-\dfrac{1}{2};+\infty\right)$
$\Leftrightarrow m \leq \dfrac{x^2 + 2x + 2}{x + 1}, \forall x \in \left(-\dfrac{1}{2};+\infty\right)$
$\Leftrightarrow m \leq \mathop{\min}\limits_{x \in \left(-\tfrac{1}{2};+\infty\right)}\dfrac{x^2 + 2x + 2}{x + 1}$
Xét $g(x) = \dfrac{x^2 + 2x + 2}{x + 1}$ trên $\left(-\dfrac{1}{2};+\infty\right)$
$\Rightarrow g'(x) = \dfrac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}$
$g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = -2\end{array}\right.$
Xét bảng biến thiên của $g(x)$ trên $\left(-\dfrac{1}{2};+\infty\right)$
$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty & & -2 & & & -\dfrac{1}{2} & & & -1 & &&0&&& +\infty\\
\hline
g'(x) & & + & 0& & - & | & - & &||& - &&0&&+&\\
\hline
&&&&&&\dfrac{5}{2}&&&||&&&&&&+\infty\\
g(x) & && && &| &&\searrow &|| &\searrow&&&&\nearrow\\
&&&&&&|&&&||&&&2\\
\hline
\end{array}$
Dựa vào bảng biến thiên, ta được:
$\min g(x) = g(0) = 2$
$\Rightarrow m\leq 2$
mà $m \in \Bbb Z^+$
$\Rightarrow S = \left\{1;2\right\}$
Câu 5:
$y = x^3 + mx - \dfrac{1}{5x^5}$
$TXĐ: D= \Bbb R \backslash\left\{0\right\}$
$y' = 3x^2 + m + \dfrac{1}{x^6}$
Hàm số đồng biến trên $(0;+\infty)$
$\Leftrightarrow y' \geq 0, \, \forall x \in (0;+\infty)$
$\Leftrightarrow 3x^2 +m + \dfrac{1}{x^6} \geq 0, \, \forall x \in (0;+\infty)$
$\Leftrightarrow m \geq - 3x^2 - \dfrac{1}{x^6}, \, \forall x \in (0;+\infty)$
$\Leftrightarrow m \geq \mathop{\max}\limits_{x \in (0;+\infty)}\left(- 3x^2 - \dfrac{1}{x^6}\right)$
Xét $h(x) = - 3x^2 - \dfrac{1}{x^6}$ trên $(0;+\infty)$
$\Rightarrow h'(x) = \dfrac{6 - 6x^8}{x^7}$
$h(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$
Xét bảng biến thiên của $h(x)$ trên $(0;+\infty)$
$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty & & -1 & & & 0 & & & 1 & && +\infty\\
\hline
h'(x) & & - & 0& & + & || & + & &0& - &&\\
\hline
&&&&&&||&&&-4&&&\\
h(x) & && && &|| &&\nearrow & &\searrow&\\
&&&&&&||&-\infty&&&&&-\infty\\
\hline
\end{array}$
Dựa và bảng biến thiên, ta thấy:
$\max h(x) = h(1) = - 4$
$\Rightarrow m \geq - 4$
mà $m \in \Bbb Z^-$
$\Rightarrow m = \left\{-4;-3;-2;-1\right\}$
$\Rightarrow \sum m = -10$
