Đáp án:
a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;+∞)$
b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-∞;1)$
Giải thích các bước giải:
a) $y=x^2+4x-2_{}$ trên khoảng $(-2;+∞)$
Đặt $y=f(x)$
$∀x_1,x_2∈$ $(-2;+∞)$ ; giả sử $x_1\neq x_2$
$H=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}_{}$
= $\dfrac{x^2_2+4x_2-2-(x^2_1+4x_1-2)}{x_2-x_1}$
= $\dfrac{x^2_2+4x_2-2-x^2_1-4x_1+2}{x_2-x_1}$
= $\dfrac{(x_2-x_1)(x_2+x_1)+4(x_2-x_1)}{x_2-x_1}$
= $\dfrac{(x_2-x_1)(x_2+x_1+4)}{x_2-x_1}$
= $x_{2}+x_1+4$
Xét khoảng $(-2;+∞)$ ⇒ $\begin{cases} x_2>-2 \\ x_1>-2 \end{cases}$
⇔ $\begin{cases} x_2+2>0 \\ x_1+2>0 \end{cases}$
⇔ $x_{2}+x_1+4>0$
⇒ $H>0$
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-2;+∞)$.
b) $y=-2x^2+4x+1_{}$
⇔ $y=-x^2+2x+0,5_{}$ trên khoảng $(-∞;1)$
Đặt $y=f(x)$
$∀x_1,x_2∈$ $(-∞;1)$ ; giả sử $x_1\neq x_2$
$H=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}_{}$
= $\dfrac{-x^2_2+2x_2+0,5-(-x_1^2+2x_1+0,5)}{x_2-x_1}$
= $\dfrac{-x^2_2+2x_2+0,5+x_1^2-2x_1-0,5}{x_2-x_1}$
= $\dfrac{-x^2_2+x_1^2+2x_2-2x_1}{x_2-x_1}$
= $\dfrac{-(x^2_2-x_1^2)+2(x_2-x_1)}{x_2-x_1}$
= $\dfrac{-(x_2-x_1)(x_2+x_1)+2(x_2-x_1)}{x_2-x_1}$
= $\dfrac{-(x_2-x_1)(x_2+x_1+2)}{x_2-x_1}$
= $-(x_{2}+x_1+2)$
= $-x_{2}-x_1-2$
Xét khoảng $(-∞;1)$ ⇒ $\begin{cases} -x_2<1 \\ -x_1<1 \end{cases}$
⇔ $\begin{cases} -x_2-1<0 \\ -x_1-1<0 \end{cases}$
⇔ $-x_{2}-x_1-2>0$
⇒ $H>0$
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-∞;1)$
