Đáp án:
Đường tròn có tâm I (2;-1) và bán kính R=3
Khoảng cách từ I đến d là:
$d = \dfrac{{\left| {3.2 - 4.\left( { - 1} \right) + 10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 4 > R$
=> d nằm ngoài đường tròn (O) và ko cắt (O)
=> để 1 điểm nằm trên (O) có k/c đến d là lớn nhất thì nó là giao của đường vuông góc kẻ từ I đến d với đường tròn.
Trên hình vẽ đó chính là điểm M và IH ⊥ d tại H
$\begin{array}{l}
\Rightarrow IH:4x + 3y + c = 0\\
I\left( {2; - 1} \right) \in IH\\
\Rightarrow 4.2 + 3.\left( { - 1} \right) + c = 0\\
\Rightarrow c = - 5\\
\Rightarrow IH:4x + 3y - 5 = 0\\
\Rightarrow H = IH \cap d\\
\Rightarrow H\left( {\dfrac{{29}}{{10}};\dfrac{{11}}{5}} \right)\\
\Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( {\dfrac{9}{{10}};\dfrac{{16}}{5}} \right)\\
Gọi:M\left( {x;y} \right)\\
\Rightarrow \overrightarrow {IM} = \left( {x - 2;y + 1} \right)\\
IH = 4;IM = 3\\
\Rightarrow \overrightarrow {IM} = - \dfrac{3}{4}\overrightarrow {IH} \left( {do:M \in IH} \right)\\
\Rightarrow \left( {x - 2;y + 1} \right) = - \dfrac{3}{4}\left( {\dfrac{9}{{10}};\dfrac{{16}}{5}} \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2 = \dfrac{{ - 27}}{{40}}\\
y + 1 = \dfrac{{ - 12}}{5}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{53}}{{40}}\\
y = \dfrac{{ - 17}}{5}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow M\left( {\dfrac{{53}}{{40}};\dfrac{{ - 17}}{5}} \right)
\end{array}$
