Giả sử:
$\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ ≥ $\frac{4}{a+b}$
⇔ $\frac{b}{ab}$ + $\frac{a}{ab}$ ≥ $\frac{4}{a+b}$
⇔ $\frac{b(a+b)}{(ab(a+b)}$ + $\frac{a(a+b)}{ab(a+b)}$ ≥ $\frac{4ab}{ab(a+b)}$
Quy đồng khử mẫu 2 vế bất phương trình ta được:
b(a+b) + a(a+b) ≥ 4ab
⇔ ab + b² + a² + ab - 4ab ≥ 0
⇔ a² - 2ab + b² ≥ 0
⇔ (a-b)² ≥ 0 với ∀ x ∈ R
Vậy $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ ≥ $\frac{4}{a+b}$ (đpcm)
