Điều kiện ( Đề bài đã cho )
a.
A = ( $\frac{\sqrt[]{x} - 2}{x - 1}$ - $\frac{\sqrt[]{x} + 2}{x + 2\sqrt[]{x} + 1}$ ) . $\frac{x^{2} - 2x + 1}{2}$
A = [ $\frac{\sqrt[]{x} - 2}{( \sqrt[]{x} - 1)(\sqrt[]{x} + 1)}$ - $\frac{\sqrt[]{x} + 2}{( \sqrt[]{x} + 1)^{2}}$ ] . $\frac{(x + 1)^{2}}{2}$
A = $\frac{(x - \sqrt[]{x} - 2) - ( x + \sqrt[]{x} - 2)}{(\sqrt[]{x} - 1)(\sqrt[]{x} +1)^{2}}$ . $\frac{[(\sqrt[]{x} - 1)(\sqrt[]{x} + 1)]^{2}}{2}$
A = $\frac{x - \sqrt[]{x} - 2 - x - \sqrt[]{x} + 2}{( \sqrt[]{x} - 1 )(\sqrt[]{x} + 1)^{2}}$ . $\frac{(\sqrt[]{x} - 1 )^{2}(\sqrt[]{x} + 1 )^{2}}{2}$
A = $\frac{-2\sqrt[]{x}}{{( \sqrt[]{x} - 1 )(\sqrt[]{x} + 1)^{2}}}$ . $\frac{(\sqrt[]{x} - 1 )^{2}(\sqrt[]{x} + 1 )^{2}}{2}$
A = -$\sqrt[]{x}$($\sqrt[]{x}$ - 1)
A = $\sqrt[]{x}$(1 - $\sqrt[]{x}$)
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b.
Ta có x > 0 ⇒ $\sqrt[]{x}$ > 0
Có x < 1 ⇒ $\sqrt[]{x}$ < $\sqrt[]{1}$
⇒ $\sqrt[]{x}$ < 1
⇒ 1 - $\sqrt[]{x}$ > 0
⇒ $\sqrt[]{x}$(1 - $\sqrt[]{x}$) > 0
⇒ A > 0
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c.
x = 3 + 2$\sqrt[]{2}$
⇒ $\sqrt[]{x}$ = $\sqrt[]{3 +2\sqrt[]{2}}$ = $\sqrt[]{2 + 2\sqrt[]{2}+1}$ = $\sqrt[]{2}$ + 1
Nên A = ( $\sqrt[]{2}$ + 1)[ 1 - ( $\sqrt[]{2}$ + 1)]
= ( $\sqrt[]{2}$ + 1)(1 - $\sqrt[]{2}$ - 1)
= - $\sqrt[]{2}$( $\sqrt[]{2}$ + 1)
= -2- $\sqrt[]{2}$
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d.
A = $\sqrt[]{x}$(1 - $\sqrt[]{x}$)
= $\sqrt[]{x}$ - x
= - (x - $\sqrt[]{x}$ + $\frac{1}{4}$ ) + $\frac{1}{4}$
= - [$(\sqrt[]{x})^{2}$ - 2 . $\sqrt[]{x}$. $\frac{1}{2}$ + $(\frac{1}{2})^{2}$ ] + $\frac{1}{4}$
= -$(\sqrt[]{x} - \frac{1}{2})^{2}$ + $\frac{1}{4}$
Ta có : $(\sqrt[]{x} - \frac{1}{2})^{2}$ $\geq$ 0
⇒ -$(\sqrt[]{x} - \frac{1}{2})^{2}$ $\leq$ 0
⇒ -$(\sqrt[]{x} - \frac{1}{2})^{2}$ + $\frac{1}{4}$ $\leq$ $\frac{1}{4}$ hay A $\leq$ $\frac{1}{4}$
Vậy, HTLN của A = $\frac{1}{4}$ tại $\sqrt[]{x}$ - $\frac{1}{2}$ = 0
⇔ $\sqrt[]{x}$ = $\frac{1}{2}$
⇔ x = $\frac{1}{4}$
