Đáp án:
1/ $x^2-4x+1=0$
2/ $B=\dfrac{9999}{100}$
$C=6$
Giải thích các bước giải:
1/ Đặt phương trình bậc hai cần tìm là: $ax^2+bx+c=0$ $(a \neq 0; a, b, c ∈ Z)$
Vì $2+\sqrt{3}$ là 1 nghiệm của phương trình
nên $a(2+\sqrt{3})^2+b(2+\sqrt{3})+c=0$
$⇔ a(7+4\sqrt{3})+b(2+\sqrt{3})+c=0$
$⇔ 7a+2b+c+4a\sqrt{3}+b\sqrt{3}=0$
$⇔ 7a+2b+c=-(4a+b)\sqrt{3}$
$*)$ Nếu $4a+b \neq 0$ thì $\dfrac{7a+2b+c}{4a+b}=-\sqrt{3}$
Điều này vô lí vì $VP$ là số vô tỉ, $VT$ là số hữu tỉ (do $a, b, c ∈ Z$)
$⇒ 4a+b=0$
Khi đó, $\begin{cases}4a+b=0 \\7a+2b+c=0\end{cases}$
$⇒ 2(4a+b)-(7a+2b+c)=0$
$⇔ a-c=0$
$⇔ a=c$
Như vậy, $4a=4c=-b$
Thay vào phương trình ta được: $ax^2-4ax+a=0$
Chia 2 vế phương trình cho $a \neq 0$ ta được:
$x^2-4x+1=0$
Vậy phương trình cần tìm là $x^2-4x+1=0$
2/ *) Xét `(1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})^2` $(k ∈ N*)$
`=1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}+\frac{2}{k}-\frac{2}{k+1}-\frac{2}{k(k+1)}`
`=1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}+\frac{2(k+1)-2k-2}{k(k+1)}`
`=1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}`
`⇒ \sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}}=1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}`
Ta có: $B=\sqrt{1+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\dfrac{1}{99^2}+\dfrac{1}{100^2}}$
$⇔ B=1+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+1+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}$
$⇔ B=99+1-\dfrac{1}{100}$
$⇔ B=100-\dfrac{1}{100}$
$⇔ B=\dfrac{9999}{100}$
$*)$ $C=\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}+\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}$
$⇔ C=\sqrt[3]{3^3+3.3^2.\sqrt{2}+3.3(\sqrt{2})^2+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3^3-3.3^2\sqrt{2}+3.3(\sqrt{2})^2-2\sqrt{2}}$
$⇔ C=\sqrt[3]{(3+\sqrt{2})^3}+\sqrt[3]{(3-\sqrt{2})^3}$
$⇔ C=3+\sqrt{2}+3-\sqrt{2}$
$⇔ C=6$
