Vì 4n + 1 và 5n + 3 không phải số nguyên tố cùng nhau nên 4n + 1 chia hết cho k ; 5n +3 chia hết cho k ( k ∈ N* )
Ta có : $\left \{ {{4n + 1 chia hết cho k} \atop {5n + 3 chia hết cho k}} \right.$
⇔ $\left \{ {{5 . ( 4n + 1 ) chia hết cho k} \atop {4 . ( 5n + 3 ) chia hết cho k}} \right.$
⇔ $\left \{ {{20n + 5 chia hết cho k} \atop {20n + 12 chia hết cho k}} \right.$
⇒ ( 20n + 12 ) - ( 20n + 5 ) chia hết cho k
⇒ 7 chia hết cho k
⇒ k ∈ Ư(7) = { 1 ; 7 }
Mà 4n + 1 và 5n + 3 không phải số nguyên tố cùng nhau
⇒ k = 7
Vậy , ƯCLN(4n + 1;5n + 3) = 7
