Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta ABD;\widehat A = {90^0};AB = AD = a;O\text{là trung điểm của} AB\\
 \Rightarrow AO = BO = DO = \dfrac{1}{2}BD\\
 \Rightarrow AO = BO = DO = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}
\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
 + )\Delta SAO;\widehat O = {90^0}\left( {SO \bot \left( {ABD} \right)} \right);SO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2};AO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\\
 \Rightarrow SA = \sqrt {S{O^2} + A{O^2}}  = a\\
 + )\Delta SBO;\widehat O = {90^0}\left( {SO \bot \left( {ABD} \right)} \right);SO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2};BO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\\
 \Rightarrow SB = \sqrt {S{O^2} + B{O^2}}  = a
\end{array}$

Vậy $SA=SB=a$

b) Ta có:

$\Delta ABD$ vuông cân ở $A$ và $O$ là trung điểm của $BD$

$\to AO\bot BD=O$

$\to AC\bot BD=O$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
 + )\left\{ \begin{array}{l}
AC \bot BD;AC \bot SO\\
BD \cap SO = O
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right)\\
 + )\left\{ \begin{array}{l}
BD \bot AC;BD \bot SO\\
AC \cap SO = O
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)
\end{array}$

c) Ta có:

$\begin{array}{l}
SO \bot \left( {ABCD} \right)\\
 \Rightarrow O\text{ là hình chiếu của S trên (ABCD)}\\
 \Rightarrow OC \text{ là hình chiếu của SC trên (ABCD)}
\end{array}$

Khi đó:

$\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,OC} \right) = \widehat {SCO}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\Delta SCO;\widehat O = {90^0};OC = OA = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2};SO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\\
 \Rightarrow \tan \widehat {SCO} = \dfrac{{SO}}{{OC}} = 1\\
 \Rightarrow \widehat {SCO} = {45^0}\\
 \Rightarrow \left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = {45^0}
\end{array}$

Vậy $\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = {45^0}$

d) Ta có:

$O$ là trung điểm của mỗi đường $AC,BD$

$\to ABCD$ là hình bình hành

$\to ABCD$ là hình thoi (do: $AB=AD$)

$\to ABCD$ là hình vuông (do: $AB\bot AD$)

Lại có:

$O,I$ lần lượt là trung điểm của $AC,BC$

$\to OI$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

$\to OI//AB$

$\to OI\bot BC$

Mặt khác:

$BC\bot SO;SO\cap OI=O$

$\to BC\bot (SOI)$

$\to BC\bot OH$