Giải thích các bước giải:
a.Ta có $CF\perp AB, BE\perp AC$
$\to\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o,\widehat{HFA}=\widehat{HEA}=90^o$
$\to BCEF, AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC, AH$
$\to N,M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $AFHE, BCEF$
$\to\widehat{NFH}=\widehat{HNF}=\widehat{AHF}=\widehat{AEF}=\widehat{ABC}=\widehat{MBF}=\widehat{MFB}$
$\to MF\perp NF$
Tương tự $ME\perp NE$
$\to MENF$ nội tiếp đường tròn đường kính $MN$
b.Ta có $\widehat{IKB}=\widehat{ACI},\widehat{IBK}=\widehat{IAC}$ vì $AKBC$ nội tiếp
$\to\Delta IBK\sim\Delta IAC(g.g)$
$\to\dfrac{IB}{IA}=\dfrac{IK}{IC}$
$\to IA.IK=IB.IC$
c.Gọi $AG$ là đường kính của $(O)\to AK\perp GK$
$\to GB\perp Ab, GC\perp AC$
$\to GB//CH, CG//BH$
$\to BHCG$ là hình bình hàng
$\to HG\cap BC$ tại trung điểm mỗi đường
$\to H,M,G$ thẳng hàng
Ta có $BCEF$ nội tiếp $\to\widehat{IFB}=\widehat{ICE},\widehat{IBF}=\widehat{IEC}$
$\to\Delta IBF\sim\Delta IEC(g.g)$
$\to\dfrac{IB}{IE}=\dfrac{IF}{IC}$
$\to IB.IC=IE.IF$
$\to IK.IA=IE.IF$
$\to\dfrac{IK}{IE}=\dfrac{IF}{IA}$
Mà $\widehat{IKF}=\widehat{AIE}$
$\to\Delta IKF\sim\Delta IEA(g.g)$
$\to AKFE$ nội tiếp
Mà $AFHE$ nội tiếp $\to A,K,F,H,E$ cùng thuộc một đường tròn
$\to\widehat{AKH}=\widehat{AFH}=90^o$
$\to HK\perp AK$
$\to H,K,G$ thẳng hàng
$\to H,K,M$ thẳng hàng
