Đáp án:
a)
Ta có: $\widehat{MNP}=2\widehat{MPN}\Rightarrow\widehat{MPN}=\dfrac{1}{2}\widehat{MNP}$
Xét $\triangle MNP$ vuông tại $M$ có
$\widehat{MNP}+\widehat{MPN}=90^0$
$\Rightarrow \widehat{MNP}+\dfrac{1}{2}\widehat{MNP}=90^0$
$\Rightarrow \dfrac{3}{2}\widehat{MNP}=90^0$
$\Rightarrow \widehat{MNP}=60^0$
b)
Xét $\triangle NAM$ và $\triangle PAQ$ có:
$NA=AP$ (do $A$ là trung điểm của $NP$-gt)
$\widehat{MAN}=\widehat{PAQ}$ (đối đỉnh)
$AM=AQ$ (do $A$ là trung điểm của $MQ$-gt)
$\Rightarrow \triangle NAM=\triangle PAQ$ (c.g.c)
$\widehat{AMN}=\widehat{AQP}$ (hai góc tương ứng)
mà $\widehat{AMN}$ và $\widehat{AQP}$ nằm ở vị trí so le trong
$\Rightarrow MN//PQ$
mà $MN\bot MP$ (do $\triangle MNP$ vuông tại $M$)
$\Rightarrow MP\bot PQ$ (mối quan hệ từ vuông góc đến song song)
c)
Do $\triangle NAM=\triangle PAQ$ (cmt) nên $MN=PQ$ (hai cạnh tương ứng)
Do $MP\bot PQ$ nên $\widehat{MPQ}=90^0$
Xét $\triangle MNP$ và $\triangle PQM$ có:
$MP$ chung
$\widehat{NMP}=\widehat{MPQ}=90^0$
$MN=PQ$ (Cmt)
$\Rightarrow \triangle NMP=\triangle PQM$ (c.g.c)
$\Rightarrow NP=MQ$ (hai cạnh tương ứng)
d)
Xét $\triangle NAQ$ và $\triangle PAM$ có:
$NA=AP$ (do $A$ là trung điểm của $NP$-gt)
$\widehat{NAQ}=\widehat{PAM}$ (đối đỉnh)
$AM=AQ$ (do $A$ là trung điểm của $MQ$-gt)
$\Rightarrow \triangle NAQ=\triangle PAM$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{NQA}=\widehat{AMP}$ (hai góc tương ứng)
$\Rightarrow \widehat{CQA}=\widehat{AMB}$
Xét $\triangle ABM$ và $\triangle ACQ$ có:
$MB=QC$ (gt)
$\widehat{AMB}=\widehat{CQA}$ (cmt)
$AM=AQ$ (do $A$ là trung điểm của $MQ$-gt)
$\Rightarrow \triangle ABM=\triangle ACQ$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{MAB}=\widehat{CAQ}$ (hai góc tương ứng)
Ta có:
$\widehat{MAC}+\widehat{CAQ}=180^0$
mà $\widehat{MAB}=\widehat{CAQ}$ (cmt)
$\Rightarrow \widehat{MAC}+\widehat{MAB}=180^0$
$\Rightarrow \widehat{BAC}=180^0$
$\Rightarrow A,B,C$ thẳng hàng
$\Rightarrow đpcm$
