Đáp án:
1) Do tam giác ABC cân tại A nên AD là đường cao đồng thời là trung tuyến
=> D là trung điểm của BC
Xét tam giác EBC vuông tại E có D là trung điểm của BC
=> DE = DB = DC = BC/2
2) Tam giác DEC cân tại D nên góc DCE = góc DEC
Tương tự tam giác EAH vuông tại E nên tâm đường tròn ngoại tiếp O là trung điểm của AH
=> tam giác OAE cân tại O
=> góc OAE = góc OEA
MÀ góc OAE+ góc DCE = 90 độ
=> góc OEA+ góc DEC = 90 độ
=> góc OED = 90 độ
=> DE là tiếp tuyến của (O)
3) Ta chứng minh được ΔHDE ~ ΔEDA (g-g)
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{{DH}}{{DE}} = \frac{{DE}}{{AD}}\\
\Rightarrow AD.DH = D{E^2} = BD.DC\left( {Do:DE = BD = DC} \right)
\end{array}$
4)
$\begin{array}{l}
D{E^2} = AD.DH = \left( {AH + DH} \right).DH\\
\Rightarrow D{E^2} = \left( {4 + 5} \right).5 = 45\\
\Rightarrow DE = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 \left( {cm} \right)
\end{array}$
