Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ:$x \in \left[ { - 3;1} \right]$
Ta có:
$\begin{array}{l}
2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {1 - x} \right)} + 1 < 2{x^2} + 4x + 3m\\
\Leftrightarrow 2\sqrt { - {x^2} - 2x + 3} + 1 < - 2\left( { - {x^2} - 2x + 3} \right) + 2m + 6\\
\Leftrightarrow 2\left( { - {x^2} - 2x + 3} \right) + 2\sqrt { - {x^2} - 2x + 3} - 5 < 2m\left( 1 \right)
\end{array}$
Đặt $t = - {x^2} - 2x + 3$
Có: $x \in \left[ { - 3;1} \right] \Leftrightarrow t \in \left[ {0;4} \right]$
Khi đó:
$(1)$ trở thành: $2{t^2} + 2t - 5 < 2m\left( 2 \right)$
Gọi $f(t)=V{T_{\left( 2 \right)}} = 2{t^2} + 2t - 5$
Để $(1)$ nghiệm đúng với mọi $x \in \left[ { - 3;1} \right]$
$ \Leftrightarrow \left( 2 \right)$ nghiệm đúng với mọi $t \in \left[ {0;4} \right]$
$ \Leftrightarrow 2m > \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0;4} \right]} f\left( t \right)$
Ta có BBT của $f(t)$
Như vậy:
$\begin{array}{l}
2m > \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0;4} \right]} f\left( t \right)\\
\Leftrightarrow 2m > 35\\
\Leftrightarrow m > \dfrac{{35}}{2}
\end{array}$
Vậy $m \in \left( {\dfrac{{35}}{2}; + \infty } \right)$ thỏa mãn đề.
