Đáp án: (x; y) = (1; 4)
Giải thích các bước giải:
Điều kiện x > 0; y ≥ 0; 8x - y + 5 ≥ 0; x + y - 1 ≥ 0
{ √(8x - y + 5) + √(x + y - 1) = 3√x + 2 (1)
{ √(xy) + 1/√x = √(8x - y + 5) (2)
Biến đổi tương đương (1):
√(x + y - 1) - 2 = 3√x - √(8x - y + 5)
⇔ (x + y - 5)[3√x + √(8x - y + 5)] = (x + y - 5)[√(x + y - 1) + 2]
@ Nếu x + y - 5 = 0 ⇔ y = 5 - x ; 8x - y + 5 = 9x thay vào PT (2)
√x(5 - x) + 1/√x = 3√x
⇔ x√(5 - x) = 3x - 1
⇔
{ x³ + 4x² - 6x + 1 = 0
{ 1/3 ≤ x ≤ 5
⇔
{ (x - 1)(x² + 5x - 1) = 0
{ 1/3 ≤ x ≤ 5
⇔ x = 1 ⇒ y = 4 ( vì x ≥ 1/3 ⇒ x² + 5x - 1 ≥ (1/3)² + 5/3 - 1 > 0)
@ Nếu 3√x + √(8x - y + 5) = (x + y - 5)[√(x + y - 1) + 2]
⇔ √(8x - y + 5) - √(x + y - 1) = 2 - 3√x (3)
Lấy (2) + (3) có : 2√(8x - y + 5) = 4 ⇔ √(8x - y + 5) = 2 ⇔ y = 8x + 1 thay vào (2)
√x(8x + 1) + 1/√x = 2
⇔ x√(8x + 1) + 1 = 2√x (4)
Vì x > 0 ⇒ x√(8x + 1) + 1 > x + 1 > 2√x ⇒ (4) vô nghiệm
KL : Nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 4) thỏa hệ
