Đáp án: $(x; y) = (0; 0); (1; 1)$
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ $: x + 2y + 1 ≥ 0$
$ \sqrt{5x² + 2xy + 2y²} + \sqrt{2x² + 2xy + 5y²} = 3(x + y) (1)$
$ \sqrt{x + 2y} + 2\sqrt[3]{12x + 7y + 8} = 2xy + x + 5 (2)$
- Nếu $ x = y $ thay vào $ (1): 2\sqrt{9x²} = 6x ⇔ 6|x| = 6x ⇒ x ≥ 0 $
Thay vào $(2): \sqrt{3x + 1} + 2\sqrt[3]{19x + 8} = 2x² + x + 5$
$ ⇔ [\sqrt{3x + 1} - (x + 1)] + 2[\sqrt[3]{19x + 8} - (x + 2)] - 2x² + 2x = 0 $
$ ⇔ \dfrac{(3x + 1) - (x + 1)²}{\sqrt{3x + 1} + (x + 1)} + \dfrac{2[(19x + 8) - (x + 2)³]}{\sqrt[3]{(19x + 8)²} + 2\sqrt[3]{19x + 8} + 4} + 2x(1 - x) = 0 $
$ ⇔ \dfrac{x(1 - x)}{\sqrt{3x + 1} + (x + 1)} + \dfrac{2x(1 - x)(x + 7)}{\sqrt[3]{(19x + 8)²} + 2\sqrt[3]{19x + 8} + 4} + 2x(1 - x) = 0 $
$ ⇔ x(1 - x)[\dfrac{1}{\sqrt{3x + 1} + (x + 1)} + \dfrac{2(x + 7)}{\sqrt[3]{(19x + 8)²} + 2\sqrt[3]{19x + 8} + 4} + 2] = 0 $
$ ⇔ x(1 - x) = 0 ⇔ x = 0; x = 1 (TM)$
$ ⇒ (x; y) = (0; 0); (1; 1) $ là nghiệm của hệ
- Nếu $x = - y ⇒ x + y = 0 $.Thay vào PT thứ nhất:
$ 2\sqrt{5x²} = 0 ⇒ x = 0 (2)$
Thay vào PT thứ hai thỏa mãn
- Xét $ x \neq ± y (**)⇔ x² \neq y² ⇔ 3x² \neq 3y²$
$ ⇔ 5x² + 2xy + 2y² \neq 2x² + 2xy + 5y²$
Nhân 2 vế của PT thứ nhất với lượng liên hợp
$\sqrt{5x² + 2xy + 2y²} - \sqrt{2x² + 2xy + 5y²} \neq 0$
ta có PT tương đương:
$ (5x² + 2xy + 2y²) - (2x² + 2xy + 5y²) = 3(x + y)(\sqrt{5x² + 2xy + 2y²} - \sqrt{2x² + 2xy + 5y²})$
$ ⇔ 3(x + y)(\sqrt{5x² + 2xy + 2y²} - \sqrt{2x² + 2xy + 5y²}) = 3(x² - y²)$
$ ⇔ \sqrt{5x² + 2xy + 2y²} - \sqrt{2x² + 2xy + 5y²}) = x - y (3)$
$ (1) + (3) : \sqrt{5x² + 2xy + 2y²} = 2x + y$
$ ⇒ 5x² + 2xy + 2y² = 4x² + 4xy + y² $
$ ⇔ x² - 2xy + y² = 0 ⇔ (x - y)² = 0 ⇔ x = y$ ko thỏa $(**) ⇒ VN$
