Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụGiải chi tiết:+)Xét \(y = 0\). Hệ phương trình tương đương : 
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2 = 0\\2{x^2} + 4 = 0\end{array} \right.\) (không thỏa mãn)
+)Xét \(y \ne 0\). Hệ phương trình tương đương :
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2 + {y^2} + 2xy = 11y\\y{\left( {2x + y} \right)^2} = 2\left( {{x^2} + 2} \right) + 13y\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + 2}}{y} + 2x + y = 11\\{\left( {2x + y} \right)^2} = \dfrac{{2\left( {{x^2} + 2} \right)}}{y} + 13\end{array} \right.\)
Đặt \(u = 2x + y\,;\)\(v = \dfrac{{{x^2} + 2}}{y}\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = 11\,\,\,\,\,\\{u^2} - 2v = 13\,\,\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 11 - v\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{u^2} - 2v = 13\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Thay \(\left( 1 \right)\)vào \(\left( 2 \right)\), ta được phương trình :
\(\begin{array}{l}{\left( {11 - v} \right)^2} - 2v = 13\\ \Leftrightarrow 121 - 22v + {v^2} - 2v - 13 = 0\\ \Leftrightarrow {v^2} - 24v + 108 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}v = 18\\v = 6\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}v = 6\\u = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}v = 18\\u =  - 7\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)
\(*)\left\{ \begin{array}{l}u = 5\\v = 6\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\{x^2} + 2 = 6y\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 5 - 2x\\{x^2} + 12x - 28 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 14\\y = 33\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\(*)\left\{ \begin{array}{l}u =  - 7\\v = 18\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y =  - 7\\{x^2} + 2 = 18y\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 7 - 2x\\{x^2} + 36x + 128 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 32\\y = 57\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {2;1} \right);\left( { - 4;1} \right);\left( { - 14;33} \right);\left( { - 32;57} \right)\)
Chọn C.