Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

Phân tích phương trình thứ nhất, sau đó thế xuống phương trình thứ hai. Ta sử dụng phương pháp đánh giá để giải quyết phần còn lạiGiải chi tiết:\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4xy - {x^2} = 3y\left( {y + 3} \right)\left( i \right)\\\sqrt {{x^2} - 6y + 1}  + \sqrt {{y^2} - 2x + 9}  = \frac{8}{3}\left( {ii} \right)\end{array} \right.\)Điều kiện xác định: \({x^2} - 6y + 1 > 0;{y^2} - 2x + 9 > 0\left( * \right)\)Với điều kiện trên, ta có phương trình \(\left( i \right)\)tương đương:\(\begin{array}{l}{x^2} - 4xy - 3x + 3{y^2} + 9y = 0 \Leftrightarrow {x^2} - xy - 3x - 3xy + 3{y^2} + 9y = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3y} \right)\left( {x - y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3y\\x = y + 3\end{array} \right.\\TH1:x = y + 3 \Rightarrow \left( {ii} \right) \Leftrightarrow \sqrt {{y^2} + 10}  + \sqrt {{y^2} - 2y + 3}  = \frac{8}{3}\\{\rm{Do}}\,\sqrt {{y^2} + 10}  + \sqrt {{y^2} - 2y + 3}  = \sqrt {{y^2} + 10}  + \sqrt {{{\left( {y - 1} \right)}^2} + 2}  \ge \sqrt {10}  + \sqrt 2  > \frac{8}{3})\end{array}\)Nên TH1 hệ vô nghiệm.\(\begin{array}{l}TH2:x = 3y \Rightarrow \left( {ii} \right) \Leftrightarrow \sqrt {9{y^2} - 6y + 1}  + \sqrt {{y^2} - 6y + 9}  = \frac{8}{3}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {y - 3} \right)}^2}}  = \frac{8}{3} \Leftrightarrow \left| {3x - 1} \right| + \left| {y - 3} \right| = \frac{8}{3}\left( {iii} \right)\end{array}\)\(\begin{array}{l} \bullet \,\,y < \frac{1}{3} \Rightarrow \left( {iii} \right) \Leftrightarrow 4 - 4y = \frac{8}{3} \Leftrightarrow y = \frac{1}{3}(ktm)\\ \bullet \,\,\frac{1}{3} \le y < 3 \Rightarrow \left( {iii} \right) \Leftrightarrow 2y + 2 = \frac{8}{3} \Leftrightarrow y = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 1(tm)\\ \bullet \,\,y \ge 3 \Rightarrow \left( {iii} \right) \Leftrightarrow 4y - 4 = \frac{8}{3} \Leftrightarrow y = \frac{5}{3}(ktm)\end{array}\)Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;\frac{1}{3}} \right)\)