\(\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{4+x^{2}}).(y+\sqrt{4+y^{2}})=4\; \; (1)\\2\sqrt{xy^{2}+1}+\sqrt{12+x^{2}y}=8\; \; (2) \end{matrix}\right.\)
Nhận xét:
\((\sqrt{4+y^{2}}-y).(y+\sqrt{4+y^{2}})=4\)
nên (1) \(\Leftrightarrow x+\sqrt{4+x^{2}}=(-y)+\sqrt{4+(-y)^{2}}\)
Xét hàm f(t) = \(t+\sqrt{4+t^{2}}.\) Có f'(t) \(=1+\frac{t}{\sqrt{4+t^{2}}}=\frac{\sqrt{4+t^{2}}+t}{\sqrt{4+t^{2}}}> \frac{\left | t \right |+t}{\sqrt{4+t^{2}}}\geq 0,\forall t,\)
=> f(t) là hàm đồng biến. Mà (1) \(\Leftrightarrow x+\sqrt{4+x^{2}}=\sqrt{4+y^{2}}-y\)
\(\Leftrightarrow f(x)=f(-y)\)
\(\Leftrightarrow x=-y\)
Thay y = -x vào phương trình (2) ta được \(2\sqrt{x^{3}+1}+\sqrt{12-x^{3}}=8\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{3}+1}=t\\\sqrt{12-x^{3}}=8-2t \end{matrix}\right.,0\leq t\leq 4\)
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} x^{3}+1=t^{2}\\12-x^{3}=(8-2t)^{2} \end{matrix}\right.\)
Cộng vế với vế ta được: \(5t^{2}-32t+51=0\Leftrightarrow \lbrack\begin{matrix} t=3\\t=\frac{17}{5} \end{matrix}\)
Từ đó tính được: \(\lbrack\begin{matrix} x=2\\x=\frac{2\sqrt[3]{165}}{5} \end{matrix}\)
Vậy hệ có nghiệm là \((2;-2);(\frac{2\sqrt[3]{165}}{5};-\frac{2\sqrt[3]{165}}{5})\)
