Đáp án: $x=y=0$
Giải thích các bước giải:
Từ hệ suy ra:
$(x+\sqrt{x^2+1})-(y+\sqrt{y^2+1})=(2y+1)-(2x+1)$
$\to (x-y)+(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{y^2+1}) =-2(x-y)$
$\to 3(x-y)+\dfrac{x^2+1-(y^2+1)}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}=0$
$\to 3(x-y)+\dfrac{(x-y)(x+y)}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}=0$
$\to (x-y)(3+\dfrac{x+y}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}=0$
Mặt khác cộng vế với vế ta được
$x+y+\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}=2x+2y+2$
$\to \sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}=x+y+2$
Vì $\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}\ge 1+1=2$
$\to x+y+2\ge 2$
$\to x+y\ge 0$
$\to 3+\dfrac{x+y}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}>0$
$\to x-y=0$
$\to x=y$
$\to x+\sqrt{x^2+1}=2x+1$
$\to x+1=\sqrt{x^2+1}$
$\to x+1\ge 1\to x\ge 0$
Và $(x+1)^2=x^2+1$
$\to x=0$
