Đáp án:
$(x;y)=\left\{(0;0);(1;1);\left(\dfrac{3-\sqrt5}{2};\dfrac{3-\sqrt5}{2}\right) \right\}$
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}\quad \begin{cases}x^2 + \sqrt x =2y\\y^2 + \sqrt y = 2x \end{cases}\quad (x;y \geq 0)\\ \text{Trừ vế theo vế của hai phương trình, ta được:}\\ \quad x^2 - y^2 + \sqrt x - \sqrt y = 2y - 2x\\ \to (\sqrt x - \sqrt y)(\sqrt x + \sqrt y)(x + y) + (\sqrt x - \sqrt y) + 2(\sqrt x - \sqrt y)(\sqrt x+\sqrt y) =0\\ \to (\sqrt x - \sqrt y)\left[(\sqrt x + \sqrt y)(x +y) + 1 + 2(\sqrt x + \sqrt y) \right]=0\\ \to \sqrt x -\sqrt y = 0\quad (Do\,\,(\sqrt x + \sqrt y)(x +y) + 1 + 2(\sqrt x + \sqrt y) >0\quad \forall x;y \geq 0)\\ \to \sqrt x = \sqrt y\\ \to x = y\\ \text{Thay vào phương trình đầu, ta được:}\\ \quad x^2 + \sqrt x = 2x\\ \to \sqrt x(\sqrt{x^3} - 2\sqrt x + 1)=0\\ \to \sqrt x(\sqrt x-1)(2\sqrt x +\sqrt5 +1)(-2\sqrt x + \sqrt5 -1) =0\\ \to \left[\begin{array}{l}\sqrt x = 0\\\sqrt x = 1\\\sqrt x = -\dfrac{\sqrt5 +1}{2}\quad \text{(vô nghiệm)}\\\sqrt x = \dfrac{\sqrt5 -1}{2}\end{array}\right.\\ \to \left[\begin{array}{l}x =0\\x =1\\x = \dfrac{3-\sqrt5}{2}\end{array}\right.\\ \text{Vậy hệ phương trình có các cặp nghiệm là:}\\ (x;y)=\left\{(0;0);(1;1);\left(\dfrac{3-\sqrt5}{2};\dfrac{3-\sqrt5}{2}\right) \right\} \end{array}$
