\({x^2} + \left( {m - 2} \right)x + m + 5 = 0\)
\(\Delta = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4\left( {m + 5} \right)\) \( = {m^2} - 4m + 4 - 4m - 20 = {m^2} - 8m - 16\)
a) Phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 8m - 16 < 0\) \( \Leftrightarrow 4 - 4\sqrt 2 < m < 4 + 4\sqrt 2 \)
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 8m - 16 > 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 4 + 4\sqrt 2 \\m < 4 - 4\sqrt 2 \end{array} \right.\)
c) Phương trình có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow m + 5 < 0 \Leftrightarrow m < - 5\).
d) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 4 + 4\sqrt 2 \\m < 4 - 4\sqrt 2 \end{array} \right.\\2 - m > 0\\m + 5 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 4 + 4\sqrt 2 \\m < 4 - 4\sqrt 2 \end{array} \right.\\m < 2\\m > - 5\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow - 5 < m < 4 - 4\sqrt 2 \)
e) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 4 + 4\sqrt 2 \\m < 4 - 4\sqrt 2 \end{array} \right.\\2 - m < 0\\m + 5 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 4 + 4\sqrt 2 \\m < 4 - 4\sqrt 2 \end{array} \right.\\m > 2\\m > - 5\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m > 4 + 4\sqrt 2 \)
