a) Gọi M là trung điểm BC. Lấy điểm D sao cho O là trung điểm CD
Xét ΔΔ BCD có :
M là trung điểm BC, O là trung điểm CD
⇒ OM là đường trung bình của ΔΔ BCD
OM=\(\dfrac{1}{2}\)DB và OM // DB
mà OM ⊥ BC ( OM là đường trung trực của BC
⇒ DB⊥BC
mà AH ⊥ BC ( AH là đường cao của ΔABC )
⇒ AH // DB
Xét ΔABH và ΔBAD có :
\(\widehat{HAB}\)= \(\widehat{DBA}\)( 2 góc so le trong do AH // DB )
AB : cạnh chung
\(\widehat{ABH}\)= \(\widehat{BAD}\)( 2 góc so le trong do AH // DB )
⇒ ΔABH= ΔBAD ( g-c-g )
⇒ AH = BD ( 2 cạnh tương ứng)
mà OM=\(\dfrac{1}{2}\) DB => OM=\(\dfrac{1}{2}\)AH
⇒ AH = 2 OM ( đpcm )
b) Gọi G' là giao điểm của AM và OH, P là trung điểm G'H, Q là trung điểm G'A
Xét Δ AG'H có :
P là trung điểm G'H
Q là trung điểm G'A
⇒ PQ là đường trung bình của AG'H
⇒ PQ=1/2AH và PQ // AH
Do PQ = 1/ 2AH mà OM=1/2
⇒ PQ = OM
Do AH // OM ( cùng ⊥BC⊥BC ) mà PQ // AH
⇒ PQ // OM
Xét ΔPQG′ và ΔOMG′ có
\(\widehat{PQG'}\)= \(\widehat{OMG'}\)( 2 góc so le trong do PQ // OM)
PQ = OM (c/m trên )
\(\widehat{PQG'}\)= \(\widehat{MOG'}\) ( 2 góc so le trong do PQ //OM )
⇒ ΔPQG′ = ΔOMG′ (g.c.g )
⇒ G'Q = G'M và G'P = G'O
Ta có:
G'Q = G'M mà G′Q=\(\dfrac{1}{2}\)G′A( Q là trung điểm G'A )
⇒ G′M=\(\dfrac{1}{2}\)G′A mà G'M + G'A = AM
⇒ G′A=\(\dfrac{2}{3}\) mà AM là trung tuyến của ΔABC
⇒ G' là trọng tâm của ΔABC ,mà G là trọng tâm của ΔABC
⇒ G′≡ GG′≡ G
mà G′ ∈ OH =>G ∈ OH
⇒ O, H, G thẳng hàng ( đpcm )
