$\begin{array}{l}\rm Bài \,\,1:\\ a)\quad -\dfrac{7}{2}x^2 + \dfrac87 =0\\ \Leftrightarrow \dfrac{7}{2}x^2 = \dfrac{8}{7}\\ \Leftrightarrow x^2 = \dfrac{16}{49}\\ \Leftrightarrow |x| = \dfrac{4}{7}\\ \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{4}{7}\\ Vậy\,\,S = \left\{\pm\dfrac47\right\}\\ b)\quad 2x^2- (1 -2\sqrt2)x - \sqrt2 =0\\ \Leftrightarrow (2x^2 - x) + (2\sqrt2x - \sqrt2)=0\\ \Leftrightarrow x(2x-1) + \sqrt2(2x-1)=0\\ \Leftrightarrow (2x-1)(x+1)=0\\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}2x - 1 =0\\x + 1 =0\end{array}\right.\\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \dfrac12\\x =-1\end{array}\right.\\ Vậy\,\,S = \left\{-1;\dfrac12\right\}\\ c)\quad 3x^2 + 5x + 5 =0\\ \text{Ta có:}\\ \Delta = 5^2 - 4.3.5 = -35 <0\\ \text{Vậy phương trình đã cho vô nghiệm}\\ d)\quad x^2 +3\sqrt3x + 1 =0\\ \Delta = (3\sqrt3)^2 - 4 = 23\\ \text{Ta được:}\\ \quad \left[\begin{array}{l}x = \dfrac{-3\sqrt3 + \sqrt{23}}{2}\\x = \dfrac{-3\sqrt3 -\sqrt{23}}{2}\end{array}\right.\\ Vậy\,\,S =\left\{\dfrac{-3\sqrt3 \pm \sqrt{23}}{2}\right\}\\ \rm Bài\,\,2:\\ a)\quad -2x^2 +4x - 1=0\\ \text{Ta có:}\\ \Delta ' = 2^2 - (-2).(-1) = 2\\ \text{Do đó:}\\ \quad \left[\begin{array}{l}x = \dfrac{-2 + \sqrt2}{-2} = 1 - \dfrac{\sqrt2}{2}\\x = \dfrac{-2 -\sqrt2}{-2} = 1 + \dfrac{\sqrt2}{2}\end{array}\right.\\ Vậy\,\,S = \left\{1 \pm \dfrac{\sqrt2}{2}\right\}\\ b)\quad x^2 + 8\sqrt3x + 48 =0\\ \text{Ta có:}\\ \Delta ' = (4\sqrt3)^2 - 48 =0\\ \text{Do đó:}\\ x =-\dfrac{4\sqrt3}{1} = -4\sqrt3\\ Vậy\,\,S = \{-4\sqrt3\}\\ c)\quad \sqrt3x^2 + 4x + 2 =0\\ \text{Ta có:}\\ \Delta ' = 2^2 - 2\sqrt3 = 4 - 2\sqrt3 = (\sqrt3 -1)^2\\ \text{Do đó:}\\ \quad \left[\begin{array}{l}x = \dfrac{-2 + \sqrt3 - 1}{\sqrt3} = 1 - \sqrt3\\x = \dfrac{-2 -\sqrt3 + 1}{\sqrt3} = -1 -\dfrac{\sqrt3}{3}\end{array}\right.\\ \rm Bài\,\,3:\\ mx^2 + 2(m+1)x+m = 0\qquad (1)\\ \Delta ' = (m+1)^2 - m^2 = 2m + 1\\ a)\quad \text{Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:}\\ \begin{cases}a \ne 0\\\Delta ' >0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}m \ne0\\2m + 1>0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}m \ne 0\\m > -\dfrac12\end{cases}\\ Vậy\,\,m >-\dfrac12\,\,và\,\,m \ne0\\ b)\quad \text{Phương trình có nghiệm kép:}\\ \begin{cases}a \ne 0\\\Delta ' =0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}m \ne0\\2m + 1=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}m \ne 0\\m = -\dfrac12\end{cases}\Leftrightarrow x =- \dfrac12\\ Vậy\,\, m= -\dfrac12\\ c)\quad \text{Phương trình vô nghiệm:}\\ +) \quad m =0\\ (1) \Leftrightarrow 2x =0\\ \Leftrightarrow x = 0\\ +)\quad m \ne 0\\ \text{Phương trình vô nghiệm:} \,\,\Leftrightarrow \Delta <0\\ \Leftrightarrow 2m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < -\dfrac12\\ Vậy\,\,m < - \dfrac12\\ d)\quad \text{Phương trình có nghiệm:}\\ +)\quad m = 0\\ \Leftrightarrow x =0\\ +)\quad m \ne 0\\ \Leftrightarrow m \geq -\dfrac12\quad (câu \,\,a;b)\\ Vậy\,\,m \geq -\dfrac12 \end{array}$

Đáp án:

 Ta có: 

$\Delta ' = (m + 1)^2 - m.m = m^2 + 2m + 1 - m^2 = 2m + 1$ 

a. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: 

$\left\{\begin{matrix}
m \neq 0 &  & \\ 
2m + 1 > 0 &  & 
\end{matrix}\right.$ 

$\to \left\{\begin{matrix}
m \neq 0 &  & \\ 
m > - \dfrac{1}{2} &  & 
\end{matrix}\right.$

b. Để phương trình có nghiệm kép thì: 

  $\left\{\begin{matrix}
m \neq 0 &  & \\ 
2m + 1 = 0 &  & 
\end{matrix}\right.$ 

$\to \left\{\begin{matrix}
 m \neq 0&  & \\ 
m = - \dfrac{1}{2} &  & 
\end{matrix}\right.$
Vậy $m = - \dfrac{1}{2}$ thì phương trình (1) có nghiệm kép. 

c. Để phương trình vô nghiệm thì $\Delta < 0$ 

$\to 2m + 1 < 0 \to 2m < - 1 \to m < - \dfrac{1}{2}$ 

d. Với $m = 0$ ta có phương trình: 

       $2x = 0 \to x = 0$ 

Vậy với $m = 0$ thì phương trình có nghiệm. 

Với $m \neq 0$ thì để phương trình có nghiệm thì $\Delta \geq 0 \to m \geq - \dfrac{1}{2}$ 

Vậy với $m \geq - \dfrac{1}{2}$ thì phương trình có nghiệm.

Giải thích các bước giải: