$d)$ $5\sqrt {x} + \dfrac {1}{2\sqrt {x}} < 2x + \dfrac {1}{2x} + 4$. $(1)$
+ ĐK: $x > 0$.
+ Ta có: $(1) ⇔ 5(\sqrt {x} + \dfrac {5}{2\sqrt {x}} < 2x + \dfrac {1}{2x} + 4$. $(2)$
+ Đặt: $t = \sqrt {x} + \dfrac {1}{2\sqrt {x}} ≥ 2\sqrt {\sqrt {x}.\dfrac {1}{2\sqrt {x}}} ≥ \sqrt {2} t ≥ \sqrt {2}$.
$⇒ x + \dfrac {1}{4x} = t^{2} - 1$.
+ Khi đó: $(3) ⇔ 5t < 2(t^{2} - 1) + 4$.
$⇔ 2t^{2} - 5t + 2 > 0$.
$⇔$ \(\left[ \begin{array}{l} t < \dfrac {1}{2} \\t > 2\end{array} \right.\)
+ Do đk: $x + \dfrac {1}{2\sqrt {x}} > 2$
$⇔2x - 4\sqrt {x} + 1 > 0$.
+ Đặt: $u = \sqrt {x}, u > 0$.
+ Ta được: $2u^{2} - 4u + 1 > 0$.
$⇔$ \(\left[ \begin{array}{l}u < \dfrac {2 - \sqrt {2}}{2} \\ u > \dfrac {2 + \sqrt {2}}{2}\end{array} \right.\) $⇔$ \(\left[ \begin{array}{l}0 < \sqrt {x} < \dfrac {2 - \sqrt {2}}{2}\\ \sqrt {x} > \dfrac {2 + \sqrt {2}}{2} \end{array} \right.\)
$⇔$ \(\left[ \begin{array}{l}0 < \sqrt {x} < \dfrac {3 - 2\sqrt {2}}{2} \\x > \dfrac {3 + 2\sqrt {2}}{2} \end{array} \right.\).
$e)$ $\sqrt {x^{2} - x - 2} + 3\sqrt {x} ≤ \sqrt {5x^{2} - 4x - 6}$. $(3)$
+ ĐK: $\left\{ \begin{array}x x^{2} - x - 2 ≥ 0 \\ x ≥ 0 \\ 5x^{2} - 4x - 6 ≥ 0\\ \end{array} \right. ⇔ x ≥ 2$.
+ Ta có: $(3) ⇔ x^{2} - x - 2 + 9x + 2.3\sqrt {x^{3} - x^{2} - 2x} ≤ 5x^{2} - 4x - 6$.
$⇔ 3\sqrt {x^{3} - x^{2} - 2x} ≤ 2(x^{2} - 3x - 1)$.
$⇔\left \{ {{x^{2} - 3x - 1 ≥ 0} \atop {9x^{3} - 9x^{2} - 18x ≤ 4x^{4} - 24x^{3} + 28x^{2} + 24x + 4}} \right.$
$⇔ \left \{ {{x ∈ (-∞; \dfrac {3}{2} - \dfrac {\sqrt {13}}{2}] ∪ [\dfrac {3}{2} + \dfrac {\sqrt {13}}{2}; +∞)} \atop {4x^{4} - 33x^{3} + 37x^{2} + 42x + 4 ≥ 0}} \right.$
$⇔\left \{ {{x ≥ [\dfrac {3}{2} + \dfrac {\sqrt {13}}{2}; +∞)} \atop {\left[ \begin{array}{l}x=3 - \sqrt {13} \ (loại) \ \\ x = 3 + \sqrt {13} \ (nhận) \ \\ x = \dfrac {9}{8} - \dfrac {\sqrt {97}}{8} \ (loại)\ \\ x = \dfrac {9}{8} + \dfrac {\sqrt {97}}{8} \ (loại) \end{array} \right.}} \right.$
$⇒ x = 3 + \sqrt {13}$.
+ Vậy: $S = x ∈ [3 + \sqrt {13}; +∞)$.
--------------------
XIN HAY NHẤT
CHÚC EM HỌC TỐT
