Giải thích các bước giải:

 B1:

Ta có:

$\begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} + {c^2}\\
 = \frac{1}{2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \frac{1}{2}\left( {{a^2} + {c^2}} \right) + \frac{1}{2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\\
 \ge \frac{1}{2}.2\sqrt {{a^2}{b^2}}  + \frac{1}{2}.2.\sqrt {{a^2}{c^2}}  + \frac{1}{2}.2.\sqrt {{b^2}{c^2}} \left( {BDT:Cauchy} \right)\\
 = ab + ac + bc
\end{array}$

Dấu bằng xảy ra

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = {b^2}\\
{a^2} = {c^2}\\
{b^2} = {c^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c$

Ta có điều phải chứng minh.

B2:

Xét hiệu

$\begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + {z^2} + 3 - 2\left( {x + y + z} \right)\\
 = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) + \left( {{z^2} - 2z + 1} \right)\\
 = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2}\\
 \ge 0\left( {do:{{\left( {x - 1} \right)}^2},{{\left( {y - 1} \right)}^2},{{\left( {z - 1} \right)}^2} \ge 0,\forall x,y,z} \right)\\
 \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 3 \ge 2\left( {x + y + z} \right),\forall x,y,z
\end{array}$

Dấu bằng xảy ra

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {z - 1} \right)^2} = 0\\
 \Leftrightarrow x = y = z = 1
\end{array}$

Vậy ta có điều phải chứng minh

$3)$

$ a^2 +b^2+ c^2 \ge ab + bc +ac$

$\to 2a^2 +2b^2+ 2c^2 \ge 2ab + 2bc +2ac$

$\to (a^2 -2ab+b^2) + (b^2 - 2bc +c^2) + (c^2 -2ac + a^2) \ge 0$

$\to (a-b)^2 + (b-c)^2 +(a-c)^2 \ge0$ (luôn đúng)

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$

Vậy ta có đpcm

$4)$

$ x^2 +y^2 +z^2 +3 \ge 2(x+y+z)$

$\to (x^2 -2x +1) + (y^2-2y+1) + (z^2 - 2z+1) \ge 0$

$\to (x-1)^2 + (y-1)^2 +(z-1)^2 \ge 0$ (luôn đúng)

Vậy ta có đpcm

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=1$