a) Ta có: $\widehat{OMT} = 90^o$ (nhìn đường kính $OT$)
⇒ $OM\perp TM$
mà $OM$ là bán kính của $(O)$
nên $TM$ là tiếp tuyến của $(O)$
b) Xét $ΔTMD$ và $ΔTCM$ có:
$\widehat{MTC}:$ góc chung
$\widehat{TMD} = \widehat{TCM}$ (cùng chắn $\overparen{MD}$ của $(O)$)
Do đó $ΔTMD\sim ΔTCM \, (g.g)$
⇒ $\dfrac{TM}{TC} = \dfrac{TD}{TM}$
hay $TM^{2} = TC.TD$
c) Ta có: $\widehat{OMT} = 90^o$ (nhìn đường kính $OT$)
⇒ $ΔOMT$ vuông tại $M$
Ta lại có: $ME\perp OI$ (đường nối tâm $OI$ là trung trực của dây chung $MN$)
⇒ $ME$ là đường cao của $ΔOMT$
Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔOMT$ vuông tại $M$, đường cao $ME$ ta được:
$TM^{2} = TE.TO$
mà $TM^{2} = TC.TD$ (câu b)
nên $TE.TO = TC.TD$
hay $\dfrac{TE}{TC} = \dfrac{TD}{TO}$
Xét $ΔTDE$ và $ΔTOC$ có:
$\dfrac{TE}{TC} = \dfrac{TD}{TO}$ $(cmt)$
$\widehat{CTO}:$ góc chung
Do đó $ΔTDE\sim ΔTOC \, (c.g.c)$
⇒ $\widehat{TED} = \widehat{TCO}$
Xét tứ giác $OCDE$ có:
$\widehat{TED} = \widehat{TCO}$
⇒ $OCDE$ là tứ giác nội tiếp
d) Gọi $H$ là giao điểm của $CD$ và $(I)$
Gọi $(Q)$ là đường tròn ngoại tiếp $OCDE$
Ta có: $\widehat{OHT} = 90^o$ (nhìn đường kính $OT$)
⇒ $OH\perp HT$
hay $OH\perp CD$
mà $O, C, D \in (Q)$
⇒ $OH$ đi qua tâm của $(Q)$
Gọi $K$ là giao điểm của $OH$ và $(Q)$
⇒ $OK$ là đường kính
⇒ $\widehat{OEK} = 90^o$ (nhìn đường kính $OK$)
hay $KE\perp OE$
Ta lại có: $ME\perp OE$ ($OI\perp MN$)
⇒ $K, M, E$ thẳng hàng
Bên cạnh đó: $OK\perp CD$ và $K \in (Q)$
⇒ $K$ là điểm chính giữa $\overparen{CD}$
⇒ $\widehat{KEC} = \widehat{KED}$
hay $\widehat{MEC} = \widehat{MED} \, (đpcm)$