1) ĐK: $\log_9 x + \dfrac{1}{2} + 9^x >0$ và $x >0$
Lấy 3 mũ 2 vế ta được
$$\log_9 x + \dfrac{1}{2} + 9^x = 9^x$$
$$<-> \log_9 x = -\dfrac{1}{2}$$
$$<-> x = 9^{-\dfrac{1}{2}}$$
$$<-> x = \dfrac{1}{3}$$
2) Ptrinh tương đương vs
$$\log_2 (4(4^x + 1)) \log_2(4^x + 1) = 3$$
$$<-> (\log_2 4 + \log(4^x +1)) \log_2(4^x + 1) = 3$$
$$<-> 2\log_2(4^x + 1) + (\log_2(4^x + 1))^2 = 3$$
Đặt $t = \log_2(4^x + 1)$ ta có
$$2t + t^2 = 3$$
$$(t-1)(t+3) = 0$$
Với $t = 1$, ta có
$$\log_2(4^x + 1) = 1$$
$$<-> 4^x + 1 = 2$$
$$<-> 4^x = 1$$
$$<-> x = 0$$
Với $t = -3$, ta có
$$\log_2(4^x + 1) = -3$$
$$<-> 4^x +1= \dfrac{1}{8}$$
$$<-> 4^x = -\dfrac{7}{8}$$
(loại do $4^x$>0 với mọi x)
Vậy $x = 0$.
4) DK: $x>-3$ và $mx >0$.
Ptrinh tương đương vs
$$2 \log_3(x+3) = \log_3(mx)$$
$$<-> \log_3(x+3)^2 = \log_3(mx)$$
$$<-> (x+3)^2 = mx$$
$$<-> x^2 +(6-m)x + 9 = 0$$
Tam thức bậc 2 này có
$$\Delta = (6-m)^2 -4.9 = m^2 - 12m$$
Để ptrinh có nghiệm duy nhất thì tam thức trên cx có nghiệm duy nhất, do đó $\Delta= 0$ hay $m = 0$ hoặc $m = 12$.
Do $mx >0$ nên $m = 0$ bị loại.
Vậy để ptrinh có nghiệm duy nhất thì $m = 12$.
