Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
9,\\
\dfrac{{x + 1}}{2} + x + 3 \ge 2x + 4\\
\Leftrightarrow \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2} + x + 3 \ge 2x + 4\\
\Leftrightarrow \dfrac{x}{2} + x - 2x \ge 4 - 3 - \dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow - \dfrac{1}{2}x \ge \dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow x \le - 1\\
\Rightarrow S = \left( { - \infty ; - 1} \right]\\
10,\\
\dfrac{{x + 2}}{2} + \dfrac{{x - 2}}{3} + \dfrac{{x - 1}}{4} \ge \dfrac{x}{2} + 3\\
\Leftrightarrow \dfrac{x}{2} + 1 + \dfrac{x}{3} - \dfrac{2}{3} + \dfrac{x}{4} - \dfrac{1}{4} \ge \dfrac{x}{2} + 3\\
\Leftrightarrow \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{4} - \dfrac{x}{2} \ge 3 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3} - 1\\
\Leftrightarrow \dfrac{7}{{12}}x \ge \dfrac{{35}}{{12}}\\
\Leftrightarrow x \ge 5\\
\Rightarrow S = \left[ {5; + \infty } \right)\\
12,\\
\left\{ \begin{array}{l}
mx + 9 < 3x + {m^2}\\
4x + 1 < - x + 6
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
mx - 3x < {m^2} - 9\\
4x + x < 6 - 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {m - 3} \right)x < \left( {m - 3} \right)\left( {m + 3} \right)\\
x < 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\\
TH1:\,\,\,\,m = 3\\
\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0x < 0\\
x < 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\, \Rightarrow vn\\
TH2:\,\,\,\,\,\,m > 3 \Rightarrow m - 3 > 0\\
\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < m + 3\\
x < 1
\end{array} \right.
\end{array}\)
Hệ bất phương trình trên luôn có nghiệm với mọi \(m > 3\)
\(\begin{array}{l}
TH3:\,\,\,\,m < 3 \Rightarrow m - 3 < 0\\
\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > m + 3\\
x < 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow m + 3 < x < 1
\end{array}\)
Bất phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi \(m + 3 < 1 \Rightarrow m < - 2\)
Vậy \(\left[ \begin{array}{l}
m > 3\\
m < - 2
\end{array} \right.\) thì hệ bất phương trình đã cho có nghiệm.
