$ΔKMP$ vuông tại $K$ có:
$\widehat{KMP} + \widehat{KPM} = 90^\circ$
Ta lại có:
$\widehat{KMP} + \widehat{KMN} = \widehat{NMP} =90^\circ$
Do đó:
$\widehat{KMN} = \widehat{KPM}$ (cùng phụ $\widehat{KMP}$)
Ta có:
$\widehat{NMI} = \widehat{KMN} + \widehat{KMI}$
mà $\widehat{KMN} = \widehat{KPM}\quad (cmt)$
$\widehat{KMI} = \widehat{PMI} = \dfrac12\widehat{KMP}\quad (gt)$
nên $\widehat{NMI} = \widehat{KPM} + \widehat{PMI}$
$\Rightarrow \widehat{NMI} = \widehat{IPM} + \widehat{PMI}$
Xét $ΔPMI$ có:
$\widehat{NIM} = \widehat{IPM} + \widehat{PMI}$ (góc ngoài tại đỉnh $I$)
Do đó:
$\widehat{NMI} = \widehat{NIM} \quad (=\widehat{IPM} + \widehat{PMI})$
$\Rightarrow ΔNMI$ cân tại $N$
$\Rightarrow NM = NI$
