a) Ta có: $AH\perp BC$

$\Rightarrow \widehat{H} = 90^o$

$ED\perp BC$

$\Rightarrow \widehat{D} = 90^o$

$EK\perp AH$

$\Rightarrow \widehat{K} = 90^o$

Xét tứ giác $HDEK$ có:

$\widehat{H} = \widehat{D} = \widehat{K} = 90^o$

Do đó $HDEK$ là hình chữ nhật

b) Ta có: $HDEK$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow EK = HD$

mà $HD = HA \quad (gt)$

nên $EK = HA$

Xét $ΔABH$ và $ΔEAK$ có:

$HA = EK \quad (cmt)$

$\widehat{H} = \widehat{E} = 90^o$

$\widehat{ABH} = \widehat{KAE}$ (cùng phụ $\widehat{HAB}$)

Do đó $ΔABH = ΔEAK$ (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

$\Rightarrow AB = AE$

c) Ta có: $ΔABE$ vuông cân tại $A$ có:

$M$ là trung điểm cạnh huyền $BE$

$\Rightarrow AM = \dfrac{1}{2}BE$

$ΔBDE$ vuông tại $D$ có:

$M$ là trung điểm cạnh huyền $BE$

$\Rightarrow MD = \dfrac{1}{2}BE$

Do đó $AM = MD$

Xét $ΔAHM$ và $ΔDHM$ có:

$AM = MD \quad (cmt)$

$HM:$ cạnh chung

$HA = HD \quad (gt)$

Do đó $ΔAHM = ΔDHM\, (c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{AHM} = \widehat{DHM}$

$\Rightarrow \widehat{AHM} = \dfrac{1}{2}\widehat{AHD} = 45^o$

a) Xét tứ giác $HDEK$:

$\widehat{EDH}=\widehat{KHD}=\widehat{HKE}=90^\circ$

$→HDEK$ là hình chữ nhật

b) $HDEK$ là hình chữ nhật

$→EK=DH$ mà $DH=AH$

$→EK=AH$

Vì $\widehat{HAB}$ và $\widehat{C}$ cùng phụ $\widehat{B}$

$→\widehat{HAB}=\widehat{C}$

Vì $\begin{cases}AH⊥BC\\AH⊥EK\end{cases}→BC//EK$

$→\widehat{C}=\widehat{KEA}$

$→\widehat{HAB}=\widehat{KEA}$

Xét $ΔAKE$ và $ΔBHA$:

$\widehat{HAB}=\widehat{KEA}(cmt)$

$\widehat{AKE}=\widehat{BHA}(=90^\circ)$

$EK=AH(cmt)$

$→ΔAKE=ΔBHA(g-c-g)$

$→AE=AB$ (2 cạnh tương ứng)

c) $ΔBED$ vuông tại $D$ mà $M$ là trung điểm $BE$

$→DM$ là đường trung tuyến $BE$$

$→DM=\dfrac{BE}{2}$

$ΔAEB$ vuông tại $A$ mà $M$ là trung điểm $BE$

$→AM$ là đường trung tuyến $BE$

$→AM=\dfrac{BE}{2}$

Từ hai điều trên $→DM=AM$

$→M$ là điểm thuộc trung trực $AD$

$HD=HA$

$→H$ là điểm thuộc trung trực $AD$

$→MH$ là trung trực $AD$

mà $ΔHDA$ cân tại $H$ ($HA=HD$)

$→MH$ là phân giác $\widehat{AHD}$

$→\widehat{AHM}=\dfrac{\widehat{AHD}}{2}=\dfrac{90^\circ}{2}=45^\circ$