Giải thích các bước giải:
Xét phương trình thứ nhất:
$\begin{array}{l}
(x^3 - y^3 ) - 3(x - y) = 0 \\
\Leftrightarrow (x - y)(x^2 + xy + y^2 ) - 3(x - y) = 0 \\
\Leftrightarrow (x - y)(x^2 + xy + y^2 - 3) = 0 \\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}c}
{x = y} \\
{x^2 + xy + y^2 = 3} \\
\end{array}} \right. \\
\end{array}$
TH1: x = y
Thay vào phương trình thứ 2 ta được:
$\begin{array}{l}
x^6 + x^6 = 27 \\
\Leftrightarrow 2x^6 = 27 \\
\Leftrightarrow x = y = \pm \sqrt[6]{{\frac{{27}}{2}}} \\
\end{array}$
TH2: $x^2 + xy + y^2 - 3 = 0$
Khi đó ta có:
$x^2 + y^2 = 3 - xy$
Thay vào phương trình thứ 2 ta được:
$\begin{array}{l}
x^6 + y^6 = 27 \\
\Leftrightarrow (x^2 + y^2 )^3 - 3x^2 y^2 (x^2 + y^2 ) = 27 \\
\Leftrightarrow (3 - xy)^3 - 3x^2 y^2 (3 - xy) = 27 \\
\Leftrightarrow 27 - 27xy + 9x^2 y^2 - x^3 y^3 - 9x^2 y^2 + 3x^3 y^3 = 27 \\
\Leftrightarrow 2x^3 y^3 - 27xy = 0 \\
\Leftrightarrow xy(2x^2 y^2 - 27) = 0 \\
\end{array}$
Giải phương trình tìm xy, thay vào biểu thức ban đầu tìm $x^2 + y^2 $
Từ đó tìm được nghiệm x, y của hệ phương trình
