Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:
Tìm ĐKXĐ.
Biến đổi, đưa phương trình về dạng phương trình tích rồi giải phương trình.
Giải chi tiết:Điều kiện: \(x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 1.\)
\(\begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} - 3x + 2\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}  = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - x - 2\left( {{x^2} + x} \right) + 2\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1}  = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - x - 2x\left( {x + 1} \right) + 2\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1}  = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - x - 1} \right) + 2\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  - x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - x - 1} \right) + 2\left( {x + 1} \right).\dfrac{{x + 1 - {x^2}}}{{\sqrt {x + 1}  + x}} = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - x - 1} \right) - 2\left( {x + 1} \right)\dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{\sqrt {x + 1}  + x}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x - 1} \right)\left[ {x - \dfrac{{2x + 2}}{{\sqrt {x + 1}  + x}}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - x - 1 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x - \dfrac{{2x + 2}}{{\sqrt {x + 1}  + x}} = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
+) Giải phương trình \(\left( 1 \right)\) ta có: \(\Delta  = 1 + 4 = 5 > 0\)
\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt:  \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
+) Giải phương trình \(\left( 2 \right)\)ta có:
\(\begin{array}{l}x - \dfrac{{2x + 2}}{{\sqrt {x + 1}  + x}} = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + \sqrt {x + 1} } \right) - \left( {2x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + x\sqrt {x + 1}  - 2x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 + x\sqrt {x + 1}  - x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 + x\sqrt {x + 1}  - {\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 + \sqrt {x + 1} \left( {x - \sqrt {x + 1} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 + \sqrt {x + 1} .\dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{x + \sqrt {x + 1} }} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {1 + \dfrac{{\sqrt {x + 1} }}{{x + \sqrt {x + 1} }}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - x - 1 = 0\\1 + \dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{x + \sqrt {x + 1} }} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\\1 + \dfrac{{\sqrt {x + 1} }}{{x + \sqrt {x + 1} }} = 0\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
+) Giải phương trình \(\left( 3 \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left( 3 \right) \Leftrightarrow x + \sqrt {x + 1}  + \sqrt {x + 1}  = 0\\ \Leftrightarrow x + 2\sqrt {x + 1}  = 0\\ \Leftrightarrow x + 1 + 2\sqrt {x + 1}  + 1 - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 1}  + 1} \right)^2} = 2\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x + 1}  + 1 = \sqrt 2 \\\sqrt {x + 1}  + 1 =  - \sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x + 1}  = \sqrt 2  - 1\\\sqrt {x + 1}  =  - \sqrt 2  - 1\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 1 = {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow x = 3 - 2\sqrt 2  - 1\\ \Leftrightarrow x = 2 - 2\sqrt 2 \,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: \(S = \left\{ {\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\,\,\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\,\,2 - 2\sqrt 2 } \right\}.\)
Chọn A.