Đáp án:
$\text{Phương trình có 3 nghiệm là: $x=1$; $x=7$ và $x=8$}$
Giải thích các bước giải:
$\sqrt{x^2-1}-\sqrt{10x-x^2-9}=\sqrt{2x^2-14x+12}$ (1)
ĐKXĐ: $\left\{\begin{matrix}x^2-1 \geq 0 &\\10x-x^2-9 \geq 0& \\2x^2-14x+12 \geq 0 & \end{matrix}\right.$
⇔ $\left\{\begin{matrix}\left[ \begin{array}{l}x \leq-1\\x\geq1\end{array} \right.&\\1\leq x \leq 9& \\ \left[ \begin{array}{l}x\leq1\\x\geq6\end{array} \right.& \end{matrix}\right.$
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x=1\\6 \leq x \leq 9\end{array} \right.\)
(1) ⇔ $(\sqrt{x^2-1}-\sqrt{10x-x^2-9})^2=(\sqrt{2x^2-14x+12})^2$
⇔ $(x^2-1)+(10-x^2-9)-2\sqrt{x^2-1}.\sqrt{10x-x^2-9}=2x^2-14x+12$
⇔ $-2x^2+24x-22=2.\sqrt{x^2-1}.\sqrt{10x-x^2-9}$
⇔ $2(-x^2+12x-11)=2.\sqrt{(x-1)(x+1)}.\sqrt{9x-x^2-9+x}$
⇔ $x-x^2+11x-11=\sqrt{(x-1)(x+1)(9-x)(x-1)}$
⇔ $(x-1)(11-x)=\sqrt{(x-1)^2}.\sqrt{(x+1)(9-x)}$
⇔ $(x-1)(11-x)=(x-1).\sqrt{(x+1)(9-x)}$ (vì $x-1 > 0$)
$\text{Nếu $x=1$ thì phương trình thành 0=0 (TM)}$
$\text{Nếu $x \neq 1$ thì phương trình thành:}$
$11-x=\sqrt{(x+1)(9-x)}$
⇔ $(11-x)^2=(\sqrt{-x^2+8x+9})^2$
⇔ $121-22x+x^2=-x^2+8x+9$ (vì $-x^2+8x+9 \geq 0$ ở ĐKXĐ)
⇔ $2x^2-30x+112=0$
⇔ $x^2-15x+56=0$
⇔ $x^2-8x-7x+56=0$
⇔ $(x-8)(x-7)=0$
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x=7 (TM)\\x=8 (TM)\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có 3 nghiệm là: $x=1$; $x=7$ và $x=8$
Chúc bạn học tốt !!!
