Câu 5:
Ta có : $\left \{ {{x^{2}+y^{2}-x-y=102} \atop {xy+x+y=69}} \right.$
⇔ ${x^{2}+y^{2}-x-y + xy+x+y=102+69}$
⇔ ${ x^{2}+y^{2}-x-y + xy+x+y = 171}$
⇔ ${x^{2}+y^{2} -x-y +xy+x+y+xy+x+y = 171 + 69}$
⇔ ${x^{2}+y^{2} -x-y +xy+x+y+xy+x+y = 240}$
⇔ ${ (x^{2}+2xy+y^{2}) + (x+y) = 240}$
⇔ ${ (x+y)^{2} +(x+y) =240}$
⇔ ${ (x+y).(x+y+1) = 15.16 = -16.(-15) }$
+) Trường hợp 1: $\left \{ {{x+y=15} \atop {x+y+1=16}} \right.$
Ta có : ${xy+x+y=69}$
Mà x+y=15 nên xy=54
Khi đó $\left \{ {{x+y=15} \atop {xy=54}} \right.$
⇔ $\left \{ {{x=15-x} \atop {xy=54}} \right.$
⇔ ${x.(15-x) =54}$
⇔ $ { -x^{2}+15x - 54=0}$
⇔ $ { -x^{2} +9x +6x -54=0}$
⇔ ${ -x.(x-9) +6.(x-9) =0}$
⇔ ${ (6-x).(x-9) =0}$
⇔ $ {\left[ \begin{array}{l}6-x=0\\x-9=0\end{array} \right. }$ ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x=6\\x=9\end{array} \right.\) ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y=9\\y=6\end{array} \right.\)
+) Trường hợp 2 :
$\left \{ {{x+y=-16} \atop {x+y+1=-15}} \right.$
Ta có : ${xy+x+y=69}$
Mà x+y=-16 nên xy=85
Khi đó $\left \{ {{x+y=-16} \atop {xy=85}} \right.$
⇔ $\left \{ {{y=-16-x} \atop {xy=85}} \right.$
⇔ ${x.(-16-x) =85}$
⇔$ { -x^{2}-16x - 85=0}$
⇔ $ { - (x^{2} +16x +85)=0}$ ( không xảy ra )
Vậy trường hợp $\left \{ {{x+y=-16} \atop {x+y+1=-15}} \right.$ loại
Vậy....
Câu 6 :
Ta có : ${x^{2}+y^{2} =160}$
${ ⇔ x^{2}+y^{2} + 2xy -2xy = 160}$
${⇔ (x+y)^{2}-2xy =160}$
${ ⇔ (x+y)^{2} -6.(x+y) =160 }$ ( do 3.(x+y)=xy)
${ ⇔ (x+y-6).(x+y) =10.16=-16.(-10)}$
+) Trường hợp 1 : $\left \{ {{x+y=16} \atop {x+y-6=10}} \right.$
Ta có: ${3.(x+y) = xy }$
Mà${ x+y=16}$ nên ${xy = 48}$
Khi đó : $\left \{ {{x+y-6=10} \atop {xy=48}} \right.$
⇔ $\left \{ {{x+y=16} \atop {xy=48}} \right.$
⇔ $\left \{ {{y=16-x} \atop {xy=48}} \right.$
⇔ ${ x.(16-x) = 48}$
⇔ ${ 16x-x ^{2} -48 =0}$
⇔ ${ -x^{2} + 12x +4x-48=0}$
⇔ ${ -x.(x-12) +4.(x-12)=0}$
⇔ ${ (x-12).(4-x) =0}$
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x-12=0\\4-x=0\end{array} \right.\) ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x=12\\x=4\end{array} \right.\) ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y=4\\y=12\end{array} \right.\)
+) Trường hợp 2 : $\left \{ {{x+y=-10} \atop {x+y-6=-16}} \right.$
Ta có: ${3.(x+y) = xy }$
Mà${ x+y=16}$ nên ${xy = -30}$
Khi đó : $\left \{ {{x+y-6=-16} \atop {xy=-30}} \right.$
⇔ $\left \{ {{x+y=-10} \atop {xy=-30}} \right.$
⇔ $\left \{ {{y=-10-x} \atop {xy=-30}} \right.$
⇔ ${ x.(-10-x) = -30}$
⇔ ${ -10x-x ^{2} +30 =0}$ (không xảy ra)
Vậy trường hợp $\left \{ {{x+y=-10} \atop {x+y-6=-16}} \right.$ loại
Vậy....
