Đáp án:
\[S = \left\{ {\dfrac{{3 + 3\sqrt 5 }}{2};\,\,\dfrac{{3 - 3\sqrt 5 }}{2}} \right\}\]
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ: \( - 2 \le x \le 5\)
Đặt \(t = \sqrt {x + 2} + \sqrt {5 - x} \,\,\,\,\left( {t > 0} \right)\), ta có:
\(\begin{array}{l}
{t^2} = {\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {5 - x} } \right)^2}\\
\Leftrightarrow {t^2} = x + 2 + 2\sqrt {\left( {x + 2} \right).\left( {5 - x} \right)} + 5 - x\\
\Leftrightarrow {t^2} = 7 + 2\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {5 - x} \right)} \\
\Rightarrow \sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {5 - x} \right)} = \dfrac{{{t^2} - 7}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\left( {t \ge \sqrt 7 } \right)
\end{array}\)
Khi đó, phương trình đã cho trở thành:
\(\begin{array}{l}
t + \dfrac{{{t^2} - 7}}{2} - 4 = 0\\
\Leftrightarrow 2t + {t^2} - 7 - 8 = 0\\
\Leftrightarrow {t^2} + 2t - 15 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {t + 5} \right)\left( {t - 3} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = - 5\,\,\,\left( L \right)\\
t = 3
\end{array} \right. \Rightarrow t = 3\\
\Rightarrow \sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {5 - x} \right)} = \dfrac{{{t^2} - 7}}{2} = 1\\
\Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {5 - x} \right) = 1\\
\Leftrightarrow - {x^2} + 3x + 10 = 1\\
\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 9 = 0\\
\Leftrightarrow x = \dfrac{{3 \pm 3\sqrt 5 }}{2}
\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {\dfrac{{3 + 3\sqrt 5 }}{2};\,\,\dfrac{{3 - 3\sqrt 5 }}{2}} \right\}\)
