`\sqrt{x-4}+\sqrt{6-x}=x^2-10x+27` (Điều kiện: `4<=x<=6`)
Xét `(\sqrt{x-4}+\sqrt{6-x})^2`
`=x-4+6-x+2\sqrt{(x-4)(6-x)}`
`=2+2\sqrt{(x-4)(6-x)}`
Áp dụng BĐT Cô-si cho `x-4>=0;6-x>=0` ta có:
`2\sqrt{(x-4)(6-x)}<=x-4+6-x`
`<=>2\sqrt{(x-4)(6-x)}<=2`
`<=>2+2\sqrt{(x-4)(6-x)}<=4`
`=>(\sqrt{x-4}+\sqrt{6-x})^2<=4`
`<=>\sqrt{x-4}+\sqrt{6-x}<=2\ (1)`
Xét `x^2-10x+27`
`=x^2-10x+25+2`
`=(x-5)^2+2`
Vì `(x-5)^2>=0∀x`
`=>(x-5)^2+2>=2∀x`
`=>x^2-10x+27>=2\ (2)`
Từ `(1)` và `(2)`
`=>` Dấu "=" xảy ra `<=>x-4=6-x<=>2x=10<=>x=5`
Vậy `S={5}`
