Đáp án:
a) $x = - 1$
b) $(x; y) = (1; 1) $
c) $(x; y) = (0; \dfrac{1}{2}) $
Giải thích các bước giải:
a)ĐKXĐ $: 3x² - 1 ≥ 0 ⇔ x ≤ - \dfrac{\sqrt{3}}{3}; x ≥ \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$ x² - x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0; x ≥ 1$. Kết hợp $x ≤ - \dfrac{\sqrt{3}}{3}; x ≥ 1$
$PT ⇔ 4\sqrt{6x² - 2} + 4\sqrt{2x² - 2x} - 4x\sqrt{2x² + 2} = 14x² - 2x + 8$
$ ⇔ (6x² - 2) - 4\sqrt{6x² - 2} + 4 + (2x² - 2x) - 4\sqrt{2x² - 2x} + 4 + (2x² + 2) + 4x\sqrt{2x² + 2} + 4x² = 0$
$ ⇔ (\sqrt{6x² - 2} - 2)² + (\sqrt{2x² - 2x} - 2)² + (\sqrt{2x² + 2} + 2x)² = 0$
$ ⇔ \sqrt{6x² - 2} - 2 = \sqrt{2x² - 2x} - 2 = \sqrt{2x² + 2} + 2x = 0$
@ $ \sqrt{6x² - 2} - 2 = 0 ⇔ x² = 1 ⇔ x = ± 1 (1)$
@ $ \sqrt{2x² - 2x} - 2 = 0 ⇔ 2x² - 2x - 4 = 0 ⇔ x = - 1; x = 2 (2)$
@ $ \sqrt{2x² + 2} + 2x = 0 (x < 0) ⇒ 2x² + 2 = 4x² ⇔ x = - 1 (3)$
Kết hợp $(1); (2); (3) ⇒ x = - 1$ là nghiệm duy nhất của PT
b) ĐKXĐ $: x ≥ 1; y ≥ 1$
Ta có $ 0 ≤ (\sqrt{x - 1} - 1)² = x - 2\sqrt{x - 1}$
$ ⇔ 2\sqrt{x - 1} ≤ x ⇔ y\sqrt{x - 1} ≤ \dfrac{xy}{2} (1)$
Tương tự $: x\sqrt{y - 1} ≤ \dfrac{xy}{2} (2)$
$ (1) +(2) : x\sqrt{y - 1} + y\sqrt{x - 1} ≤ xy (*)$
Đã xảy ra dấu $'=' ⇒ \sqrt{x - 1} - 1 = \sqrt{y - 1} - 1 =0$
$ ⇒ (x; y) = (1; 1)$ là nghiệm duy nhất của PT
c) ĐKXĐ $: 4y - x² + 2x - 1 ≥ 0; x + 1 ≥ 0; 4y² + x - 1 ≥ 0$
$PT ⇔ \sqrt{4y² + x - 1} + \sqrt{x + 1} = \sqrt{4y - x² + 2x - 1}$
$ ⇔ 4y² + x - 1 + x + 1 + 2\sqrt{4y² + x - 1}.\sqrt{x + 1} = 4y - x² + 2x - 1$
$ ⇔ x² + (4y² - 4y + 1) + 2\sqrt{4y² + x - 1}.\sqrt{x + 1} = 0$
$ ⇔ x² + (2y - 1)² + 2\sqrt{4y² + x - 1}.\sqrt{x + 1} = 0$
$ ⇔ x = 2y - 1 = 2\sqrt{4y² + x - 1}.\sqrt{x + 1} = 0$
$ ⇒ x = 0; y = \dfrac{1}{2} (TM)$
Vậy $(x; y) = (0; \dfrac{1}{2}) $ là nghiệm duy nhất của PT
