a) Ta có: M là hình chiếu của H lên AB.
=> HM ⊥ AB
=> ∠HMA = 90° (1)
N là hình chiếu của H lên AC.
=> HN ⊥ AC
=> HNA = 90° (2)
Từ (1) và (2) => ∠HMA + ∠HNA = 90° + 90° = 180°
=> Tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp (tổng 2 góc đối nhau bằng 180°)
b) Do tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp (cm câu a)
=> ∠MNH = ∠MAH (cùng chắn cung MH)
Hay ∠DNH = ∠MAH (*)
Mặt khác: AH ⊥ DC, EB ⊥ DC => AH // EB (từ vuông góc đến song song)
=> ∠MAH = ∠EBM (cặp góc so le trong) (**)
Từ (*) và (**) => ∠DNH = ∠EBM (đpcm)
c) Ta có: ∠DMB = ∠AMN (cặp góc đối đỉnh), AMHN nội tiếp
=> ∠AMN = ∠AHN (cùng chẵn cung AN)
=> ∠DMB = ∠AHN (3)
Mặc khác: ∠AHN + ∠NHC = 90°; ∠HCN + ∠NHC = 90° => ∠AHN = ∠HCN (4)
Từ (3) và (4) => ∠DMB = ∠HCN hay ∠DMB = ∠DCN
Xét ΔDMB và ΔDCN có:
∠D: góc chung
∠DMB = ∠DCN (cmt)
=> ΔDMB = ΔDCN
=> DM/DC = DB/DN
hay DM.DC = DB.DC (đpcm)
