Đáp án+Giải thích các bước giải:
Bài `5:`
`a) x^2+x+1`
`=x^2 + 2.x. 1/2 + 1/4 +3/4`
`=(x+1/2)^2 + 3/4`
Vì `(x+1/2)^2 \ge 0 ∀ x in RR`
nên `(x+1/2)^2 + 3/4 \ge 3/4 ∀ x in RR`
Dấu `'='` xảy ra `<=> x+1/2 =0`
`<=> x = -1/2`
Vậy GTNN của biểu thức trên là `3/4` khi `x= -1/2`
`b) 2+x-x^2`
`= -(x^2 - x - 2)`
`=-(x^2 -2.x . 1/2 + 1/4 -9/4)`
`=-(x-1/2)^2 + 9/4`
Vì `-(x-1/2)^2≤ 0 ∀ x in RR`
nên `-(x-1/2)^2 + 9/4≤ 9/4 ∀ x in RR`
Dấu `'='` xảy ra `<=> x-1/2 =0`
`<=> x =1/2`
Vậy `GTLN` của biểu thức trên là `9/4` khi `x = 1/2`
`c) x^2 - 4x +1`
`=x^2 - 2.x.2 + 4 - 3`
`=(x-2)^2 -3`
Vì `(x-2)^2 \ge 0 ∀ x in RR`
nên `(x-2)^2 -3\ge -3 ∀ x in RR`
Dấu `'='` xảy ra `<=> x-2=0`
`<=> x = 2`
Vậy GTNN của biểu thức trên là `-3` khi `x = 2`
`d) 4x^2 + 4x +11`
`=(2x)^2 + 2.2x .1+1 +10`
`=(2x+1)^2 +10`
Vì `(2x+1)^2 \ge 0 ∀ x in RR`
nên `(2x+1)^2 +10 \ge 10 ∀ x in RR`
Dấu `'='` xảy ra `<=> 2x+1=0`
`<=> x = -1/2`
Vậy GTNN của biểu thức trên là `10` khi `x = -1/2`
`e) 3x^2 - 6x+1`
`=3(x^2 - 2x + 1/3)`
`=3(x^2 - 2.x .1/4 + 1/(16) +(13)/(48))`
`=3(x-1/4)^2 + (13)/(16)`
Vì `3(x-1/4)^2 \ge 0 ∀ x in RR`
nên `3(x-1/4)^2 + (13)/(16) \ge (13)/(16) ∀ x in RR`
Dấu `'='` xảy ra `<=> x-1/4 =0`
`<=> x =1/4`
Vậy GTNN của biểu thức trên là `(13)/(16)` khi `x = 1/4`
`f) x^2 -2x +y^2 - 4y +6`
`=(x^2 - 2.x .1 +1)+(y^2 - 2.y.2+4) + 1`
`= (x-1)^2 + (y-2)^2 +1`
Vì `(x-1)^2 + (y-2)^2 \ge 0 ∀ x, y in RR`
nên `(x-1)^2 + (y-2)^2 +1 \ge 1 ∀ x, y in RR`
Dấu `'='` xảy ra `<=>`$\begin{cases} x-1=0\\y-2=0 \end{cases}$
`<=>`$\begin{cases} x=1\\y=2 \end{cases}$
Vậy GTNN của biểu thức trên là `1` khi `x = 1, y=2`
`g) h(h+1)(h+2)(h+3)`
`= [h(h+3)][(h+1)(h+2)]`
`=(h^2 + 3h)(h^2 + 3h+2)`
Đặt `t = h^2 +3h`. Khi đó biểu thức trên trở thành:
`t(t+2)`
`= t^2 + 2t `
`=t^2 + 2.t.1 +1 -1`
`=(t+1)^2 -1`
Vì `(t+1)^2\ge 0 ∀ t in RR`
nên `(t+1)^2 -1 \ge -1 ∀ t in RR`
Dấu `'='` xảy ra `<=> t+1 =0`
`<=> t =-1`
mà `t= h^2 + 3h`
`=> h^2 + 3h=-1`
`<=> h^2 + 3h + 1=0`
`<=> h+3/2 = ±(sqrt{5})/2`
`<=> h = (±sqrt{5} -3)/2`
Vậy GTNN của biểu thức trên là `-1` khi `h = (±sqrt{5} -3)/2`
