`a)` $AB$ là tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$

`=>AB`$\perp OB$

`=>\hat{ABO}=90°`

$\quad AC$ là tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$

`=>AC`$\perp OC$

`=>\hat{ACO}=90°`

`=>\hat{ABO}+\hat{ACO}=90°+90°=180°`

`=>ABOC` nội tiếp (vì có tổng hai góc đối $180°$) $(1)$

$\\$

$\quad K$ là trung điểm của $EF$

`=>OK`$\perp EF$ tại $K$

`=>\hat{AKO}=90°`

`=>\hat{ABO}=\hat{AKO}=90°`

`=>ABKO` nội tiếp (vì có hai đỉnh kề nhau $B;K$ cùng nhìn cạnh $AO$ dưới góc vuông) $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>A;B;K;O;C` cùng thuộc $1$ đường tròn 

`=>BKOC` nội tiếp 

$\\$

`b)` (Bổ sung $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$)

Xét $∆ABE$ và $∆AFB$ có:

`\qquad \hat{A}` chung

`\qquad \hat{ABE}=\hat{AFB}` (cùng chắn cung $BE$)

`=>∆ABE∽∆AFB` (g-g)

`=>{AB}/{AF}={AE}/{AB}`

`=>AB^2=AE.AF` $(3)$

$\\$

$\quad AB;AC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $A$

`=>AB=AC`

Mà `OB=OC` =bán kính của $(O)$

`=>OA` là đường trung trực $BC$

Vì $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$

`=>OA`$\perp BC$ tại $H$

$\\$

Xét $∆ABO$ vuông tại $B$ có $BH\perp OA$

`=>AB^2=AH.AO` $(4)$

$\\$

Từ `(3);(4)=>AE.AF=AH.AO`

$\\$

`c)` Ta có:

`\qquad ED`//$AB$ (cùng $\perp OB$)

`=>\hat{MEK}=\hat{BAK}` (hai góc đồng vị)

Mà `A;B;K;O;C` cùng thuộc $1$ đường tròn (câu a)

`=>ABKC` nội tiếp 

`=>\hat{BAK}=\hat{BCK}` (cùng chắn cung $BK$)

`=>\hat{MEK}=\hat{BCK}`

`=>\hat{MEK}=\hat{MCK}`

`=>KMEC` nội tiếp (vì hai đỉnh kề nhau $E;C$ cùng nhìn cạnh $MK$ dưới hai góc bằng nhau)

$\\$

`d)` $KMEC$ nội tiếp (c/m trên)

`=>\hat{EKM}=\hat{ECM}` (cùng chắn cung $EM$)

Mà `\hat{ECM}=\hat{EFB}` (cùng chắn cung $BE$ của $(O)$)

`=>\hat{EKM}=\hat{EFB}`

Vì `\hat{EKM};\hat{EFB}` ở vị trí đồng vị 

`=>MK`//$NF$

$\\$

Xét $∆EFM$ có:

`\qquad K` là trung điểm $EF$

`\qquad MK`//$NF$

`=>MK` là đường trung bình $∆EFM$

`=>M` là trung điểm $EN$

`=>EN=2MN`

$\quad I$ là trung điểm $AB$ (gt)

`=>AB=2IB`

$\\$

Xét $∆FAB$ có $EN$//$AB$

`=>{FN}/{FB}={EN}/{AB}` (hệ quả định lý Talet)

`=>{FN}/{FB}={2MN}/{2IB}={MN}/{IB}`

$\\$

Xét $∆FNM$ và $∆FBI$ có:

`\qquad \hat{FNM}=\hat{FBI}` (hai góc đồng vị do $EN$//$AB$)

`\qquad {FN}/{FB}={MN}/{IB}` (c/m trên)

`=>∆FNM∽∆FBI` (c-g-c)

`=>\hat{FMN}=\hat{FIB}`

Mà `\hat{FIB}=\hat{EMI}` (hai góc so le trong do $EN$//$AB$)

`=>\hat{FMN}=\hat{EMI}`

$\\$

$\quad E;M;N$ thẳng hàng

`=>\hat{FMN}+\hat{EMF}=180°` (hai góc kề bù)

`=>\hat{EMI}+\hat{EMF}=180°`

`=>\hat{FMI}=180°`

`=>F;M;I` thẳng hàng