`a)` $BE;CF$ là đường cao của $∆ABC$
`=>BE`$\perp AC$ tại $E$
`=>\hat{BEC}=90°`
`\qquad CF`$\perp AB$ tại $F$
`=>\hat{BFC}=90°`
`=>\hat{BEC}=\hat{BFC}=90°`
`=>BCEF` nội tiếp (có $2$ đỉnh $E;F$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới góc vuông)
$\\$
Xét tứ giác $BDHF$ có:
`\qquad \hat{BDH}+\hat{BFH}=90°+90°=180°`
Mà `\hat{BDH};\hat{BFH}` ở vị trí đối nhau
`=>BDHF` nội tiếp
$\\$
`b)` $BDHF$ nội tiếp (c/m trên)
`=>\hat{DFH}=\hat{DBH}` (cùng chắn cung $DH$) $(1)$
Tứ giác $AEHF$ có:
`\qquad \hat{AFH}+\hat{AEH}=90°+90°=180°`
`=>AEHF` nội tiếp
`=>\hat{EFH}=\hat{EAH}` (cùng chắn cung $EH$) $(2)$
Mà `\hat{DBH}=\hat{EAH}` (cùng phụ `\hat{ACD}`) $(3)$
Từ `(1);(2);(3)=>\hat{DFH}=\hat{EFH}`
`=>\hat{DFC}=\hat{EFC}`
Vì tia $FC$ nằm giữa hai tia $FD$ và $FE$
`=>FC` là phân giác của `\hat{DFE}`
$\\$
Vẽ tiếp tiếp tuyến `xy` tại $A$ của $(O)$
`=>xy`$\perp OA$ $(4)$
`\qquad \hat{xAB}=\hat{ACB}` (cùng chắn cung $AB$)
Vì `BCEF` nội tiếp
`=>\hat{AFE}=\hat{ACB}` (góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối diện)
`=>\hat{xAB}=\hat{AFE}`
Mà `\hat{xAB};\hat{AFE}` ở vị trí so le trong
`=>xy`//$EF$ $(5)$
Từ `(4);(5)=>OA`$\perp EF$
$\\$
`c)` Ta có: `\hat{ADB}=\hat{AEB}=90°`
`=>ABDE` nội tiếp (có $2$ đỉnh $D;E$ cùng nhìn cạnh $AB$ dưới góc vuông)
`=>\hat{BAD}=\hat{BED}` (cùng chắn cung $BD$)
$\\$
Ta lại có $ABMN$ nội tiếp $(O)$
`=>\hat{BAM}=\hat{BNM}` (cùng chắn cung $BM$)
`=>\hat{BAD}=\hat{BNM}`
`=>\hat{BED}=\hat{BNM}`
Mà `\hat{BED};\hat{BNM}` ở vị trí đồng vị
`=>DE`//$MN$
`=>\hat{CIK}=\hat{CED}` (hai góc đồng vị)
$\\$
Ta có `\hat{CED}=\hat{ABD}` (do $ABDE$ nội tiếp)
`=>\hat{CIK}=\hat{ABD}`
`=>\hat{CIK}=\hat{ABK}`
`=>ABKI` nội tiếp (vì có góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối diện)
