Đáp án:
$0$
Giải thích các bước giải:
Gọi `h(x);g(x)` lần lượt là đa thức thương khi chia $f(x)$ cho `(x-2)` và `(x+1)`
Vì `f(x)` chia `(x-2)` dư $5$
`=>f(x)=h(x)(x-2)+5`
`=>f(2)=0+5=5`
Vì `f(x)` chia `(x+1)` dư $-4$
`=>f(x)=g(x)(x+1)-4`
`=>f(-1)=0-4=-4`
$\\$
Ta có: `f(x)=x^3+ax^2+bx+c`
`\qquad f(2)=5`
`<=>2^3+a.2^2+2b+c=5`
`<=>4a+2b+c=-3` $(1)$
$\\$
`\qquad f(-1)=-4`
`<=>(-1)^3+a.(-1)^2-b+c=-4`
`<=>a-b+c=-3` $(2)$
$\\$
Từ `(1);(2)`
`=>4a+2b+c=a-b+c`
`<=>3a=-3b<=>a=-b`
Ta có:
`\qquad (a^{2019}+b^{2019}).(b^{2020}+c^{2020}).(c^{2021}+a^{2021})`
`=((-b)^{2019}+b^{2019}).(b^{2020}+c^{2020}).(c^{2021}+a^{2021})`
`=(-b^{2019}+b^{2019}).(b^{2020}+c^{2020}).(c^{2021}+a^{2021})`
`=0.(b^{2020}+c^{2020}).(c^{2021}+a^{2021})`
`=0`
Vậy: `(a^{2019}+b^{2019}).(b^{2020}+c^{2020}).(c^{2021}+a^{2021})=0`
