`a;b\in N`*
`=>a^2+8b>0;b^2+8a>0`
Giả sử $a\le b$
Vì `a>0=>8a>0`
`\qquad a\le b=>8a\le 8b`
`=>b^2<b^2+8a\le b^2+8b<b^2+8b+16=(b+4)^2`
`b^2+8a` là số chính phương
`=>b^2+8a\in {(b+1)^2;(b+2)^2;(b+3)^2}`
$\\$
+)$ TH1:$ `b^2+8a=(b+1)^2`
`<=>b^2+8a=b^2+2b+1`
`<=>8a-2b=1` (loại vì $8a-2b\ \vdots \ 2; 1\ \not\vdots \ 2$)
$\\$
+) $TH2: b^2+8a=(b+2)^2$
`<=>b^2+8a=b^2+4b+4`
`<=>8a=4b+4`
`<=>2a=b+1`
`<=>b=2a-1`
`=>a^2+8b=a^2+8(2a-1)=a^2+16a-8`
`=(a^2+16a+64)-64-8=(a+8)^2-72`
`\qquad a^2+8b=(a+8)^2-72` là số chính phương
`=>(a+8)^2-72=m^2` $(m\in N$*)
`<=>(a+8)^2-m^2=72`
`<=>(a+8+m)(a+8-m)=72`
$\\$
Ta có:
$a;8;m\in N$*;$(a+8+m)-(a+8-m)=2m$ là số chẵn
`=>` $(a+8+m)$ và $(a+8-m)$ cùng tính chẵn lẻ.
$\\$
Vì $a;8;m\in N$*`=>a+8+m>a+8-m`
`=>(a+8+m)(a+8+m)>72`
`=>(a+8+m)^2>72`
`=>a+8+m>\sqrt{72}=6\sqrt{2}≈8,5`
`=>a+8+m\ge 9`
Ta có các trường hợp sau:
$++)\begin{cases}a+8+m=12\\a+8-m=6\end{cases}$
$⇔\begin{cases}2m=6\\a=m-2\end{cases}$
$⇔\begin{cases}m=3\\a=1\end{cases}$
`=>b=2a-1=2.1-1=1`
`=>(a;b)=(1;1)`
$\\$
$++)\begin{cases}a+8+m=18\\a+8-m=4\end{cases}$
$⇔\begin{cases}2m=14\\a=m-4\end{cases}$
$⇔\begin{cases}m=7\\a=3\end{cases}$
`=>b=2a-1=2.3-1=5`
`=>(a;b)=(3;5)`
$\\$
$++)\begin{cases}a+8+m=36\\a+8-m=2\end{cases}$
$⇔\begin{cases}2m=34\\a=m-6\end{cases}$
$⇔\begin{cases}m=17\\a=11\end{cases}$
`=>b=2a-1=2.11-1=21`
`=>(a;b)=(11;21)`
$\\$
+) $TH3: b^2+8a=(b+3)^2$
`<=>b^2+8a=b^2+6b+9`
`<=>8a-6b=9`
(loại vì $8a-6b\ \vdots \ 2; 9\ \not\vdots \ 2$)
$\\$
Vậy `(a;b)\in {(1;1);(3;5);(5;3);(11;21);(21;11)}`
