Gọi $K$ là điểm sao cho $\vec{AK}=2\vec{AC}$
Dựng $K$ là điểm sao cho $AK=2AC$ và $A,K$ khác phía so với $C$
Gọi $I$ là trung điểm $BK$
$\left| {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AK} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AI} } \right| = 2AI$
Ta có $AC=CK=BK$ nên ta có tam giác $ABK$ là tam giác vuông tại $B$
Theo định lý Pytago ta được:
$\begin{array}{l} A{B^2} + B{C^2} = A{K^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + 4B{I^2} = A{K^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + 4B{I^2} = 4{a^2}\\ \Leftrightarrow B{I^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4} \Leftrightarrow BI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow A{B^2} + B{I^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4} + {a^2} = \dfrac{{7{a^2}}}{4} = A{I^2}\\ \Rightarrow AI = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2} \end{array}$
$\begin{array}{l} A{I^2} = A{B^2} + B{I^2} = {a^2} + \dfrac{a\sqrt 3} 2 =\dfrac{a^2\sqrt 7} 4\\ \Rightarrow AI =\dfrac{a\sqrt 7} 2 \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right| = 2AI =a\sqrt 7 \end{array}$
