Đáp án:
$d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y = 1 - 2t
\end{array} \right.$ và $C\left( {7;4} \right)$
Giải thích các bước giải:
+) Ta có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
I\left( {1;1} \right) \in d\\
\overrightarrow {{n_d}} = \left( {2;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \left( {1; - 2} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \text{Phương trình tham số }d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y = 1 - 2t
\end{array} \right.
\end{array}$
+) Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
D \in d\\
{x_D} > 0
\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {1 + t;1 - 2t} \right)\left( {t > - 1} \right)$
$ \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \left( {t + 2; - 2t - 1} \right)$
Lại có:
$E,F$ lần lượt là trung điểm của $AC,BC$
$\to EF$ là đường trung bình của tam giác $ABC$
$\to EF//AB$
$\to GH//EF$
Khi đó:
$\dfrac{{BH}}{{BF}} = \dfrac{{BG}}{{BE}} = \dfrac{2}{3}$ (ĐL Thales)
$\begin{array}{l}
\Rightarrow BH = \dfrac{2}{3}BF\\
\Rightarrow BH = \dfrac{1}{3}BC\left( {do:BF = \dfrac{1}{2}BC} \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {BH} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AD} = \left( {\dfrac{{t + 2}}{3};\dfrac{{ - 2t - 1}}{3}} \right)\\
\overrightarrow {HC} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AD} = \left( {\dfrac{{2\left( {t + 2} \right)}}{3};\dfrac{{2\left( { - 2t - 1} \right)}}{3}} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow B\left( {\dfrac{{ - t + 13}}{3};\dfrac{{2t + 19}}{3}} \right);C\left( {\dfrac{{2t + 19}}{3};\dfrac{{ - 4t + 16}}{3}} \right)\\
\Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {\dfrac{{ - t + 16}}{3};\dfrac{{2t + 13}}{3}} \right)
\end{array}$
Mà lại có:
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\\
\Leftrightarrow \left( {\dfrac{{ - t + 16}}{3}} \right)\left( {t + 2} \right) + \left( {\dfrac{{2t + 13}}{3}} \right)\left( { - 2t - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {t - 16} \right)\left( {t + 2} \right) + \left( {2t + 13} \right)\left( {2t + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 5{t^2} + 14t - 19 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {5t + 19} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\left( c \right)\\
t = \dfrac{{ - 19}}{5}\left( l \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow t = 1
\end{array}$
Như vậy: $C\left( {\dfrac{{2t + 19}}{3};\dfrac{{ - 4t + 16}}{3}} \right) \Rightarrow C\left( {7;4} \right)$
Vậy $C\left( {7;4} \right)$
